Gelijkvormigheid.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
Elke keer als je dingen (foto's of  kopien of Russische poppen zoals hiernaast) gaat vergroten of verkleinen, dan wil je graag dat de vorm van je figuren gelijk blijft. Het enige dat moet veranderen is dat alle lengtes gewoon een aantal keer zo groot of zo klein worden.

Wat betekent het nou als je zegt dat de "vorm" gelijk moet blijven? Nou, dat betekent eigenlijk dat alle hoeken van de nieuwe figuur gelijk zijn aan de overeenkomstige hoeken van de originele figuur.
   
Dus niet alleen de hoeken van de omtrek, nee alle. Kijk maar naar het vierkant en de rechthoek hiernaast.

Die hebben zoals je in de bovenste tekening ziet alle vier de hoeken gelijk (90) maar hebben beslist niet dezelfde vorm.

In de onderste figuur zijn de rode hoeken bijvoorbeeld beslist niet gelijk en ook de groene hoeken niet.

Je zag natuurlijk ook meteen al wel dat deze twee figuren niet dezelfde vorm hebben: de eerste is een vierkant en de tweede niet!

   
Twee figuren zijn gelijkvormig:
   
alle overeenkomstige hoeken zijn gelijk
alle overeenkomstige lengtes hebben een zelfde verhouding
   
Gelijkvormige driehoeken.
   
Driehoeken vormen hier een speciale uitzondering.

Voor gelijkvormige driehoeken geldt natuurlijk ook dat alle overeenkomstige hoeken gelijk zijn, maar het is daarvoor genoeg als "de" drie hoeken van de driehoek gelijk zijn. Andere hoeken binnen zo'n driehoek zijn dan automatisch ook gelijk.
Waarom dat nou precies zo is zou hier iets te ver voeren. Als je het cht graag wilt weten, en je kunt vannacht anders minder goed slapen, dan moet je de verdieping hiernaast maar lezen.
 
Twee driehoeken zijn gelijkvormig:
   
De drie hoeken zijn gelijk.
De zijden hebben een zelfde verhouding.
   
Het kan natuurlijk zelfs ng sterker: het is al genoeg als tw hoeken gelijk zijn. Omdat ze samen immers altijd 180 zijn is de derde hoek dan ook automatisch bekend.
Denk er goed aan dat de twee voorwaarden hierboven elk apart genoeg zijn om aan te tonen dat twee driehoeken gelijkvormig zijn. Zodra de ene voorwaarde geldt, geldt de andere ook automatisch.

Wat kunnen we hiermee?
 
Deze eigenschap van driehoeken kunnen we makkelijk gebruiken om lengtes van lijnstukken uit te gaan rekenen
Het werkschema zal er daarbij meestal z uitzien:
   

   
Voor die twee hoeken zul je meestal gebruik maken van Z-hoeken of  F-hoeken of overstaande hoeken.
Voor het berekenen van verhoudingen kun je het handigst een verhoudingsschema maken. Denk er goed om dat overeenkomstige zijden daarin ook onder elkaar staan!
   
Notatie.
   
Als twee driehoeken ABC en DEF gelijkvormig aan elkaar zijn, dan noteren we dat als:
   

ABC ~ DEF

   
Wen jezelf aan om de overeenkomstige hoekpunten ook op dezelfde plaats te zetten, dat is handig voor het maken van een verhoudingsschema. De notatie hierboven zou betekenen dat hoek A gelijk is aan hoek D, en hoek B aan hoek E, en hoek C aan hoek F.
   
Voorbeeld.

In een rechthoekige driehoek ABC met rechte hoek A en zijden AB = 8 en AC = 10,  is vanaf het midden M van zijde BC een lijn loodrecht op BC getrokken, die AB snijdt in P.
Bereken de lengte MP.

Eerst maar even BC met Pythagoras uitrekenen:
BC2 = 82 + 62 = 100  dus  BC = 10.

Nu gaan we op jacht naar gelijke hoeken.

Maak hoek B rood en hoek C blauw.  
Dan zijn rood en blauw samen 90, immers samen met hoek A zijn de 180.

Maar de rode hoek plus hoek BPM zijn samen k 90, dat kun je zien in driehoek MBP

Dat kan alleen maar betekenen dat hoek BPM k blauw moet zijn!

Je ziet nu dat de driehoeken MBP en ABC dezelfde hoeken hebben dus zijn ze gelijkvormig  (je had trouwens al meteen mogen zeggen dat deze driehoeken tw hoeken gelijk hebben, namelijk een rechte en een rode, dus dat ze gelijkvormig moeten zijn, had je dat al gezien?)
Conclusie:   MBP ~ ABC  (denk om de volgorde).
Dan kunnen we voor de zijden van deze driehoeken een verhoudingsschema maken: (bedenk dat MB de helft van BC is)
 
AB
8
BC
10
AC
6
MB
5
BP
?
MP
?
 
Uit dit schema volgt vrij eenvoudig dat  BP = 10 5/8 = 6,25

(zonder schema kan het ook direct met verhoudingen:  AB : AC = MB : MP dus  8/6 = 5/MP  dus MP = 3,75)

   
Drie Basisfiguren.  
   
Er zijn drie basisfiguren voor gelijkvormige driehoeken die z vaak voorkomen dat het de moeite waard is ze uit je hoofd te leren zodat je ze snel in figuren kunt herkennen.
   
Figuur 1:

In de figuur hiernaast is DE evenwijdig aan AB.
Omdat dat zo is, zijn de blauwe hoeken bij A en D gelijk, en ook de rode hoeken bij B en E. Dat zijn namelijk F-hoeken.
Dus hebben de driehoeken CDE en CAB dezelfde hoeken.
 

CDE ~ CAB

 
   
Figuur 2:  De Zandloper.

In de figuur hiernaast is DE evenwijdig aan AB.
Omdat dat zo is zijn de blauwe hoeken D en B gelijk en de rode hoeken E en A ook. Dat zijn namelijk Z-hoeken.
Ook de groene hoeken bij C zijn gelijk: overstaande hoeken.
Dus hebben de driehoeken CDE en CBA dezelfde hoeken.
 

CDE ~ CBA

 
Figuur 3:

ABC is een rechthoekige driehoek met rechte hoek A. De hoogtelijn AD vanuit de rechte hoek op de bissectrice is getekend.
Om precies dezelfde redenen als in het voorbeeld hierboven zijn de hoeken met dezelfde kleur gelijk. Rood plus blauw is samen 90.
Nu zijn er zelfs drie gelijkvormige driehoeken te zien:
 
ABC ~ DBA ~ DAC
 
 
Leuk Origami-toepassinkje...

Origami is de kunst van het papiervouwen. Je kunt er mooie dingen als de zwaan hiernaast mee vouwen. Als een Origami-vouwer  (origamist?) een velletje papier in drien moet vouwen, dan doet hij dat natuurlijk niet door gewoon de lengte te meten en dat dan door drie te delen, nee hij doet dat uitsluitend door te vouwen!
Dat gaat zoals in het stripverhaal hieronder:

   

   
Jij ziet natuurlijk in n oogopslag hoe hier handig gebruik is gemaakt van gelijkvormigheid!
Toch?
   
 
 
  OPGAVEN
   
1. Bereken de vraagtekens in de onderstaande figuren.
       
 

       
2. Hiernaast is in een vierkant met zijden 8 een rechte hoek bij A getekend.
Bereken de lengte van de zijde met het vraagteken.
       
 

       
3. ABC is een gelijkbenige driehoek met basis 10.
Door B wordt een lijn evenwijdig aan AC getekend en door C een lijn loodrecht op AC.
Dat geeft snijpunt D

Zie de figuur hiernaast.

Het blijkt dat BD = 6

     
  Bereken de oppervlakte van driehoek ABC
     
       
4. Binnen een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 5 en 12 zijn een vierkant en een rechthoek getekend die er "precies in passen". Dat wil zeggen dat ze n zijde langs de schuine zijde van de driehoek hebben en dat ze de rechthoekszijden raken.
Zie de figuur.
Het vierkant heeft zijden van 3 en de rechthoek heeft een zijde van 4.
Bereken de andere zijde van de rechthoek.
       
 

       
5. Hieronder staat een rechthoek van 7 bij 9 waarin twee sets evenwijdige lijnen zijn getekend, die onderling loodrecht op elkaar staan.
Daardoor ontstaat een kleinere rechthoek in het  midden.

Bereken de oppervlakte van die kleinere rechthoek.