De Discriminant.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
De grafiek van een kwadratische formule.

De grafiek van een formule van de vorm   y = ax2 + bx + heet een parabool.
     
Een paar eigenschappen ken je natuurlijk al.

Zo heet het hoogste/laagste punt de top van de parabool.

Verder is een parabool symmetrisch in een verticale symmetrie-as (de stippellijn hiernaast)

Tenslotte bepaalt het teken van het getal a (dat voor het kwadraat staat) of we te maken hebben met een bergparabool of een dalparabool. Als a > 0 is er een dalparabool, als a < 0 is er een bergparabool. Misschien kun je het handig onthouden met de smileys hiernaast.

Deze les gaan we vooral bekijken hoe het zit met de snijpunten met de x-as;  dat heten de nulpunten.
Laten we nog even samenvatten wat we tot nu toe hebben gevonden over kwadratische vergelijkingen:

Schrijf de vergelijking eerst in de vorm
ax
2 + bx + c = 0

Dan zijn er twee oplossingen:

   
Geen vuiltje aan de lucht! Even invullen en klaar! Twee antwoorden. Volgende som.

Helaas.....

Er kan iets fout gaan. Neem bijvoorbeeld de vergelijking  3x2 + 5x + 8 = 0
dan is b2 - 4ac = 52 - 438 = -71.  En √(-71) kun je niet berekenen want je kunt niet de wortel uit een negatief getal trekken. Kortom; altijd als b2 - 4ac < 0 dan geeft de ABC-formule geen oplossingen!

En ook als b2 - 4ac precies gelijk is aan nul is er iets aparts aan de hand: de bovenstaande twee oplossingen geven het zelfde antwoord, immers er staat in de ene dan +√0 en in de andere -√0 maar dat is allebei toch nul.
Dus als b2 - 4ac = 0 dan is er precies n oplossing van de vergelijking.

Die b2 - 4ac  bepaalt (determineert) dus eigenlijk hoeveel oplossingen een kwadratische vergelijking heeft. Hij heet daarom de DISCRIMINANT van de vergelijking. We gebruiken ervoor de letter D.
Samengevat:

Discriminant = D = b2 - 4ac
D > 0  :  twee oplossingen
D = 0  :  n oplossing     
 D < 0  :  geen oplossingen

Wat betekent dat voor een probleem?
Flauwe opmerking: Dat hangt ervan af wat we aan het uitrekenen zijn!
Meestal komt een kwadratische vergelijking tevoorschijn als we snijpunten van twee grafieken aan het berekenen zijn of snijpunten met de x-as van een parabool.
 
Het eenvoudigste geval:  de nulpunten van een parabool.
De nulpunten van een parabool vinden we door de formule van een parabool gelijk aan nul te stellen, dus dat geeft een kwadratische vergelijking.

  Als van die vergelijking D > 0 dan heeft de parabool dus twee snijpunten met de x-as.
  Als D = 0 dan is er n snijpunt met de x-as (hij ligt tegen de x-as aan, ofwel hij raakt
   de x-as.
  Als D < 0 dan heeft de parabool helemaal geen snijpunten met de x-as, dus dan ligt hij er in
   zijn geheel boven of onder.

Als we verder bedenken dat het getal a dat voor het kwadraat staat bepaalt of we te maken hebben met een dalparabool (a > 0) of een bergparabool (a < 0) dan hebben we al direct een aardig idee over de ligging van de parabool.
In de volgende figuur zie je zes mogelijkheden systematisch gerangschikt.

Het tweede geval: de snijpunten van twee grafieken.
Ook als je twee grafieken met elkaar snijdt (bijvoorbeeld een parabool met een rechte lijn of twee parabolen met elkaar) krijg je een kwadratische vergelijking. Die moet je dan eerst op nul herleiden, en ook dan kun je van de resterende vergelijking de discriminant uitrekenen. Bedenk dat elke x die je vindt de x-cordinaat van een snijpunt is.

Als D > 0 zijn er twee oplossingen dus ook twee snijpunten
Als D = 0 is er n oplossing en dus ook n snijpunt. De grafieken raken elkaar dan meestal.
Als D < 0 zijn er geen oplossingen dus ook geen snijpunten.

De volgende figuur verduidelijkt n en ander.

   
1. Van welk van de volgende parabolen ligt de top op de x-as?
   
  A:  y =  2x2 - 5x + 3
B:  y =  9x + 3x2 + 7
C:  y = -3x2 + 6x - 12
   
2. Hoeveel snijpunten hebben de volgende grafieken?
       
a. De lijn  y = 4x - 2  en de parabool  y = 2x2 + 11x + 4
       
b. De parabolen  y = 3x2 + 120x + 240    en  y = 40x - 4x2 - 15
       
c. De parabool  y = 4x2 - 8x - 8  en de lijn  y = -12
3. Op tijdstip t = 0 is de situatie op een autoweg als volgt:

Auto A rijdt met een snelheid van 144 km/uur, maar is aan het afremmen omdat hij vr zich een andere auto ziet. Voor de afstand van de voorkant van zijn auto tot het punt waar die voorkant zich nu bevindt, laten we het punt P noemen, geldt de formule  S(t) = 40t - t2
Die andere auto, auto B rijdt op een afstand van 60 meter vr auto A met een snelheid van 72 km/uur, maar is aan het optrekken. Voor de afstand van de achterkant van zijn auto tot P geldt  S(t) = 0,5t2 + 20t + 60
  Onderzoek of de auto's een botsing zullen krijgen.
   
   
 

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)