© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Rekenen met breuken.
       
Deze les beklijken we hoe we breuken kunnen vermenigvuldigen en  vereenvoudigen.

1.  Vermenigvuldigen van breuken.
       
Ik hoop niet dat ik je beledig, maar van de basisschool  komt volgens mij de het simpele:  als je breuken vermenigvuldigt moet je doen "teller × teller en  noemer × noemer".
       

vermenigvuldigen: 

teller × teller
noemer × noemer
 

       
Dat betekent bijvoorbeeld dat:
Nou, laten we dat dan ook maar precies zo met letters doen:
       
Vooral die laatste is interessant; daar zie je dat een "gewone" letter in een blokje waar ook breuken in staan eigenlijk hoort bij de teller van die breuken. Dat kun je snappen door er  "éénde"  van te maken, en dan komt dat gewone getal dus bij de teller terecht.  Net zoals 5 • 2/7 = 10/7  is ook  4 • 2/x = 8/x  en  8 • x/3 = 8x/3

Let er nog even op dat je ook hier weer ziet wat we al in de vorige les staat:  wat er bij breuken bovenin staat kun je er ook voor of achter schrijven.
       

Een gewoon getal is eigenlijk een TELLER (de noemer is 1)

       
Dat zul je vooral vaak gebruiken als er ergens breuken tussen haakjes staan. Hier zie je een voorbeeld met onze "blokjesmethode". We bekijken de uitdrukking   5 • (x + 6/x). Let op dat die 5 daar voor de haakjes bij die teller 6 terecht komt!!!
       

       
2.  Vereenvoudigen van breuken.
       
Kijk naar het plaatje hiernaast. Het illustreert wat er het vaakst fout gaat met het vereenvoudigen van breuken. Dat is 

De ziekte van het "wegstrepen"!!


Wegstrepen is ook helemaal niet het juiste woord voor wat er gebeurt bij het vereenvoudigen van breuken. Hier staat hoe een breuk eigenlijk wordt vereenvoudigd:

       

       
In de tweede stap blijkt dat zowel in de teller als in de noemer "keer 16" staat. In de derde stap zie je dat je die "keer 16" en "keer 16" bij elkaar mag zetten. 

Maar dat mag alléén omdat het vermenigvuldigen is!!!!
In de laatste stap is tenslotte gebruikt dat "keer 16" in de teller en "keer 16" in de noemer elkaar opheffen.

Drie afgrijselijke fouten die met breuken en letters gemaakt worden:

       


Ieieieieieieiek!!
Ten strengste verboden:  hier staat immers geen "KEER"?? NERGENS!!!
       


Aiaiaiaiaiaai!!!!
Nu staat er bij de x wél KEER, maar door die +5 erachter staat daar in de noemer toch weer een blokje (x • 3)  PLUS een ander blokje (5)  en dus toch niet KEER!
       


YYYessssss!!!
Eindelijk staat er in de noemer een blokje (5) KEER een ander blokje (x + 3). Dit mag.
       
Breuken vereenvoudigen ("wegstrepen")  mag alleen bij vermenigvuldigen!
       
Heel af en toe kun je ervoor zorgen dat iets vermenigvuldigen wordt door wat buiten haakjes te zetten.

Voorbeeldje:
       
3.  Mintekens bij breuken.
       
Als er ergens in een breuk een minteken staat, dan doet het er niet veel toe of dat in de teller of in de noemer is.
Deze breuken zijn alle drie gelijk:
       
 
       
       
                                       
       
  OPGAVEN.
       
1. Schrijf zonder haakjes, en als één breuk:
         
  a. d.
  b. e.
  c. f.
         
2. Schrijf zonder haakjes, en vereenvoudig zoveel mogelijk:
         
  a. d.
  b. e.
  c. f.
         
3. Examenopgave 2022 (deels)

Als een parachutist een sprong maakt, dan bereikt hij na een poosje een constante valsnelheid, waarvoor geldt:
 
  Hierin is v de constante valsnelheid in meters per seconde, m het gewicht van de parachutist in kg en W de wrijvingscoëfficiënt van de parachute.
         
  a. Een parachutist die een parachute gebruikt met een wrijvingscoëfficiënt van 35 bereikt een constante valsnelheid van  15,4 km/uur.
Bereken het gewicht van de parachutist.
         
  We kijken nu naar één bepaalde parachute met een wrijvingscoëfficiënt van 40. Personen met verschillende massa’s kunnen met deze parachute gaan springen.
De formule voorkan dan worden herleid tot de volgende vorm:
         
 

v = ..... • √m

         
  b. Geef deze herleiding. Geef daarbij het getal op de puntjes in twee decimalen.
         
4. Voor het leggen van een PVC-vloer rekent een bouwbedrijf de kosten  K  = 42,4 • m + 62,5
Daarin is K de kosten in euro's en m  de oppervlakte in m2 .

De kosten  per m2  (M) zijn dan gelijk aan de totale kosten gedeeld door het aantal vierkante meters.
         
  a. Als de oppervlakte groter wordt, dan worden de kosten per m2 lager.
Leg met de formule voor K uit waarom dat zo is.
         
  b. Bereken bij welke oppervlakte de kosten per m2 voor het eerst lager zijn dan 45 per m2.
         
  c. Schrijft de formule voor de kosten per m2 in de vorm  M = a + b/m
         
         
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)