© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De Balansmethode.
       
Laten we eens beginnen met een vergelijking....
Een vergelijking is eigenlijk elke wiskunderegel waar "="  in staat, en verder meestal nog wat letters  (variabelen noemen we die)
Neem bijvoorbeeld de vergelijking    30 + 2x = 20 + 4x 
Geef toe:  daar staat "=" en daar staan wat letters en getallen.

Met zulke vergelijkingen kunnen we van alles doen.
Je kunt ze anders (liefst eenvoudiger) gaan schrijven.

Je kunt ze ook proberen op te lossen. Dat betekent: uitzoeken wat x moet zijn zodat het klopt wat er staat.
Dat laatste gaan we proberen met de gegeven vergelijking hierboven.
Die schrijf ik eerste even anders:
30 + 2x = 20 + 4x
       
Dan kun je deze vergelijking eigenlijk vergelijken met de volgende weegschaal:
       

       
Links ligt groen 30 en rood 2x  en rechts ligt  groen 20 en rood 4x. En als dat gelijk is, dan is deze weegschaal dus in evenwicht.

Laten we de zaak gaan vereenvoudigen.....
Dat kan bijvoorbeeld door van elke schaal een groene bal weg te pakken. We weten dat de schaal daardoor in evenwicht blijft. De schaal wordt dan als hieronder. De bijbehorende vergelijking staat er naast.
       

20 + 2x = 10 + 4x

 

       
Dat ziet er al ietsje simpeler uit.
Maar wacht eens even...wat met groene ballen kan, kan natuurlijk ook met rode ballen. Laten we van beide kanten van de weegschaal in één keer 2 rode ballen weghalen! Zolang dat maar van beide kanten gebeurt, blijft hij in evenwicht. Dat geeft het volgende plaatje:
       

20 = 10 + 2x

 

       
Nou kun je niet zo veel meer aan beide kanten weghalen. Het enige dat nog zou kunnen is één groene bal verwijderen,. dus laten we dat maar doen:
       

10 = 2x

 

       
Ik denk dat je nu wel ziet wat de oplossing van onze vergelijking is;  x moet gelijk zijn aan 5.
Als je het heel netjes en precies doet, dan moet je eigenlijk zeggen: "We nemen nu van beide kanten van de weegschaal de helft. Dan blijft aan de ene kant één rode bal over en aan de andere kant een halve groene: die weegt 5 gram. Dus x = 5"
Deze methode heet heel toepasselijk de "BALANSMETHODE"
Wat is er nou stap voor stap wiskundig gezien gebeurd?
       
vergelijking wat is er gebeurd? nieuwe vergelijking eindresultaat
30 + 2x = 20 + 4x beide kanten "min 10" 30 + 2x - 10 = 20 + 4x - 10 20 + 2x = 10 + 4x
20 + 2x = 10 + 4x beide kanten "min 2x" 20 + 2x - 2x = 10 + 4x - 2x 20 = 10 + 2x
20 = 10 + 2x beide kanten "min 10" 20 - 10 = 10 + 2x - 10 10 = 2x
10 = 2x beide kanten "de helft nemen" 5 = x 5 = x
Het had natuurlijk ook wel wat efficiënter gekund. In de eerste stap haalden we 10 weg en in de derde stap nog een keer. Dat had ook wel in één keer gekund, dus direct 20. Dan zou de balansmethode er zó uit hebben gezien: 
       
vergelijking wat is er gebeurd? nieuwe vergelijking eindresultaat
30 + 2x = 20 + 4x beide kanten "min 20" 30 + 2x - 20 = 20 + 4x - 20 10 + 2x = 4x
10 + 2x = 4x beide kanten  "min 2x" 10 + 2x - 2x = 4x - 2x 10 = 2x
10 = 2x beide kanten "de helft nemen" 5 = x 5 = x
Hoe zit dat nou precies met die laatste stap?
       
Na het heen en weer verplaatsen van de blokjes eindigen we altijd met aan beide kanten nog één blokje; aan de ene kant met een letter, aan de andere kant een getal.
Dat ziet er altijd ongeveer zó uit:

       
Er staan nog maar twee blokjes, dus heen en weer schuiven met blokjes helpt niet meer. Toch willen we graag het getal 5 bij de x weghalen (ons doel is immers te krijgen x = ....).

De oplossing is vrij eenvoudig: deel beide blokjes door 5:  Neem van beide schalen één-vijfde deel!!!!!
Dan krijg je aan de linkerkant  5x/5
en dat is gelijk aan x.
Aan de rechterkant krijg je  8/5 en dat is 1,6.
Conclusie: x = 1,6
       
Als je van  "ax"  het getal a weg wilt halen, dan deel je beide kanten door a
 
Misschien is het (zeker in het begin) handig om tussen de vergelijkingen te schrijven wat je doet. Dat zou er bijvoorbeeld zó uit kunnen zien:
 

 
Formules herleiden.

Je kunt de balansmethode ook gebruiken als je formules eenvoudiger wilt gaan schrijven (dat noemen we herleiden)
Kijk maar naar het volgende voorbeeld:

Voorbeeld:    Schrijf de formule  2y + 18 - 5x = 3x + 6(y - 1)  zo eenvoudig mogelijk , en graag als  y = .....

2y + 18 - 5x = 3x + 6(y - 1)   eerst de haakjes maar eens weg:
2y + 18 - 5x = 3x + 6y - 6   nu 4x naar rechts door beide kanten  + 4x te doen:
2y + 18 = 3x + 5x + 6y - 6   nu 15 naar rechts door beide kanten  - 15 te doen (en meteen maar 3x + 4x = 7x)
2y = 8x + 6y -  6 -  18  nu 6y naar links door beide kanten -6y te doen  (en meteemn maar -6 - 15 = -21)
2y -  6y = 8x -  24
-4y = 8x -  24   nu alles delen door -4:
y = -2x + 6 

Dat is toch een stuk eenvoudiger dan die oorspronkelijke vergelijking......

Het snijpunt van twee grafieken.

Je kunt de balansmethode natuurlijk ook gebruiken als je het snijpunt van twee grafieken wilt berekenen zonder je GR te gebruiken.
Neem bijvoorbeeld de twee rechte lijnen  y = 4x - 3  en  y = 2x + 8
Om het snijpunt te berekenen schrijf je beide rechterkanten gewoon achter elkaar;

       

snijpunt van twee grafieken:   formules aan elkaar gelijkstellen!!

       
Dat geeft in dit geval  4x - 3 = 2x + 8
beide kanten  -2x  geeft   4x - 2x - 3 = 8
beide kanten + 3 geeft  2x = 8 - 3
2x = 5  geeft  x = 2,5
Dan is  y = 4x - 3 = 4 • 2,5 - 3 = 7  dus het snijpunt is  (2.5, 7)
       
       
 
       
                                       
       
  OPGAVEN.
       
1. Los op met behulp van de balansmethode:
       
  a. -2x + 5 = 10 + 4x
  b. 4x + 2x + 5 = x - 7
  c. 2x + 3x - 4 = 5 + 7x - 2
  d. 3(x + 2) = 12 - 4x
       
2. Schrijf in de vorm  y = ax + b   waarbij a en b twee getallen zijn:
       
  a. 2y + 4x  =  10 -  3y + 12x
  b. 3(4 - y) =  5x + 6y
  c. 2x + 5y = 3y + 8(3x + 2)
       
3. Bereken met de balansmethode het snijpunt van de lijnen  y = 5x + 12  en   y = 10x - 4
       
4.

De secretaris van een voetbalvereniging houdt al jaren nauwkeurig bij hoeveel leden de vereniging heeft.  Er zijn twee soorten leden:  jeugdleden en seniorleden.
Beide aantallen zijn in de loop der jaren gegroeid.
Voor de jeugdleden geldt  J = 120 + 14t  en voor de seniorleden geldt  S =  240 + 8t
Daarin is t de tijd in jaren met t = 0 in 1980.

       
  a. Hoe kun je zonder een berekening te maken direct aan deze formules zien welk van beide ledensoorten het snelst groeit?
       
  b. Bereken in welk jaar er evenveel jeugdleden als seniorleden zullen zijn als deze groei zo doorgaat.
       
  c. Bereken in welk jaar het totaal aantal leden voor het eerst meer dan 1800 zal zijn als deze groei zo doorgaat.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)