© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Toepassingen van combinaties
       
Deze les zullen we twee speciale toepassingen van combinaties bekijken.
       
1. Anagrammen.

Een anagram van een woord is een ander woord dat je kunt maken door de volgorde van de letters te veranderen.
Zo kun je van  "TAK"  bijvoorbeeld  "KAT" maken, maar ook de niet-bestaande woorden  KTA, ATK, AKT en TKA.

Een anagram is een "rijtje met letters".

In totaal zijn er zes anagrammen van "KAT"  (kenners zien natuurlijk direct hier het aantal permutaties: 3!).
Het wordt anders als sommige letters vaker voorkomen.
Van OOK zijn er bijvoorbeeld alleen maar  OKO  en KOO; geen 6 maar slechts 3.

Voorlopig bekijken we zulke "woorden""waarin maar 2 letters voorkomen.
Neem het woord  APPAAAPAPPPP   van 12 letters (5 A's en 7 P's)
Hoeveel verschillende "woorden" kunnen we met deze 12 letters maken?
 
Laten we beginnen met 12 stippen waar deze twaalf letters uiteindelijk moeten komen te staan:
       

       
Laten we nu de eerst de 5 A's op een plaats zetten. Daarvoor moeten we dus 5 stippen uitkiezen uit de 12 om zo'n A op neer te zetten. Maar wacht eens even:
       
• kies er 5 (stippen) uit de 12
• zonder terugleggen
• de volgorde is NIET van belang
       
Waar kennen we dat van?
JUIST! Dat waren de "combinaties"  van de vorige les.
Die 5 stippen kun je dus op  (12 nCr 5)  manieren uitkiezen. Dat zijn er 792.
Goed, stel dat we de vijf plaatsen voor de A's  hebben gekozen:
       

       
En nou liggen de plaatsen voor de P's ook automatisch vast. Dat kan nog maar op één manier.
Die 792 is dus meteen het eindantwoord, dus je kunt met 5 A's en 7 P's  792 "woorden" maken.

En kritische lezer zal nu zeggen:  "Ja maar als ik was begonnen met de P's op een plek te zetten dan had ik gevonden  12 nCr 7  in plaats van 12 nCr 5.  Hoe kan dat?' 
Nou dan heb ik goed nieuws:  Dat is OOK goed, daar komt hetzelfde uit!!!!
Je mag dus kiezen:  zet één van beide letters op hun plaats.

2.    Routes in een rooster.
       
Een muis zit in een doolhof .
Het is niet een supermoeilijk doolhof: het bestaat uit een rechthoekig patroon van 5 bij 3.

De muis begint links onderin.
Rechtsboven loigt een stuk kaas.
De muis ruikt de kaas en loopt daar naartoe. Bij elke kruising kiest de muis welke weg hij neemt, maar hij kan goed ruiken dus neemt wel steeds de kortste weg.

Dat betekent dsat hij elke kee naar rtechts of naar boven gaat.

Hiernaast zie je een mogelijke route.
       
Hoeveel routes zijn er in totaal voor de muis mogelijk?
       
De oplossing is erg simpel als je bij elke  weggetje van de muis opschrijft of het naar boven (B) of naar rechts (R) is.
Dat is hiernaast gedaan.

Je zou deze route kunnen aangeven met
     

R B B R R R B R

     
Maar elke route van de muis bestaat uit 5 R's en 3 B's immers om bij de kaas te komen moet de muis in totaal drie keer naar boven gaan en 5 keer naar rechts.

En hierboven hebben we al bekeken hoe je kunt berekenen hoeveel rijtjes letters er zijn.
Dat is in dit geval  8 nCr 3 = 56
Dus er zijn 56 mogelijke routes voor de muis in dit doolhof.
       
Een route in een rechthoekig rooster is een rijtje letters
Dus het aantal routes kun je berekenen met nCr
       
       
 
       
                                       
       
  OPGAVEN.
       
1. Een gezin van maar liefst 12 kinderen bestaat uit 8 jongens en 4 meisjes. Hoeveel mogelijke gezinsopbouwen (als je alleen let op jongen of meisje naar leeftijd) zijn er voor zo'n gezin?
       
2. Een wijnliefhebber drinkt in de maand november samen met zijn vrouw elke dag een fles wijn leeg. Ze drinken alleen rode en witte wijn. Al hun flessen rode wijn zijn hetzelfde, en ook al hun flessen witte wijn zijn gelijk.
       
  a. Op hoeveel manieren kunnen zij deze maand wijn drinken als ze van beide soorten 30 flessen hebben?
       
  b. Op hoeveel manieren kunnen zij deze maand wijn drinken als zij 10 flessen witte wijn hebben en 20 flessen rode wijn?
       
3. De wedstrijd  Ajax - FC Groningen eindigde in  6-4 voor Ajax.
De volgorde waarin de teams scoorden noemen we een "wedstrijdverloop"
       
  a. Hoeveel wedstrijdverlopen waren er bij deze wedstrijd?
       
  b. Hoeveel wedstrijdverlopen waren er als je weet dat het bij rust nog 3-3 was?
       
4. Bereken het aantal kortste routes van S (start)  naar F (finish) in de volgende twee roosters:
       
 

       
5. BORD VAN GALTON.

In de figuur hiernaast zie je een tekening van het bord van Galton. Er valt boven een knikker in en die rolt op de bovenste pin. De knikker heeft een even grote kans om naar links als om naar rechts te vallen. Vervolgens valt de knikker weer op de volgende pin, weer met een even grote kans om naar rechts of naar links te vallen. Zo zoekt de knikker zijn weg door het bord naar beneden om uiteindelijk in één van de vakjes A t.m. F te belanden.

Hoeveel routes zijn er naar  A, B, C, D, E en F?

   
6. Iemand heeft 9 gele vlaggetjes en 5 rode en wil daar een slinger van gaan maken.
Hieronder zie je een voorbeeld.
   
 

       
  a. Hoeveel verschillende patronen zijn er voor de slinger mogelijk?
       
  b. Hoeveel verschillende patronen zijn er mogelijk als de slinger moeten beginnen en eindigen met een geel vlaggetje?
       
7. Iemand wil in een rechthoekig rooster via de kortste weg van S naar F lopen, maar hij wil onderweg een fles wijn meenemen die op één van de kruispunten ligt.

Zie de figuur.

Hoeveel routes zijn er mogelijk?

       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)