Lineair verband

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Karel gaat elke vrijdagavond naar de kroeg en drinkt daar altijd alleen maar bier. Gewoon omdat hij dat lekker vindt. 

Een glas bier kost er  1,70.

Karel onderzoekt het verband tussen het aantal glazen bier (G) dat hij drinkt en het bedrag (B)  dat hij kwijt is.

Dat levert hem de volgende tabel:
 
Glazen G 0 1 2 3 4 5 6 7
Bedrag B 1,70 3,40 5,10 6,80 8,50 9,20 10,90 12,60
 

Het valt op dat de getallen in de onderste rij steeds met dezelfde hoeveelheid toenemen. Dat is logisch natuurlijk want dat is uiteraard precies de prijs van een glas.
Zo'n verband tussen G en B waarbij de toename elke keer hetzelfde is heet een lineair verband.

   
Dat woord komt van linea en dat betekent rechte lijn. Ik hoop dat je het logisch vindt dat de grafiek van zo'n lineair verband een rechte lijn is, immers bij elk stapje van n naar rechts  (G n groter) neemt de hoogte B  met dezelfde hoeveelheid toe.
(eigenlijk zijn het i  de grafiek hiernaast  natuurlijk losse stippen, want het aantal glazen moet een geheel getal zijn, maar voor het gemak is een doorgetrokken lijn getekend).

Karel stelt een formule op voor het bedrag (B) dat hij op een avond kwijt is als functie van het aantal glazen bier (G) dat hij naar binnen heeft gewerkt. De formule voor deze lijn kun je natuurlijk makkelijk zelf verzinnen. Doe dat maar. Hij staat hieronder.

B = 1,70 G

 
   
Maar eens in de maand is er in de kroeg live-muziek. Om dat te kunnen  betalen vraagt men dan een entreeprijs van 7,00.
Karel merkt natuurlijk dat het bedrag dat hij dan kwijt is steeds 5,40 hoger ligt dan op de avonden zonder live-muziek. In zijn grafiek betekent dat, dat elk punt 7,00 omhoog gaat.
Dat geeft de nieuwe rode grafiek hiernaast.

De lengte van alle pijltjes is dus 7,00.
Merk op dat de rode lijn even steil loopt als de oorspronkelijke, dus hetzelfde hellinggetal zal hebben. De lijn gaat echter niet meer door de oorsprong, maar is verschoven naar punt P(0, 7)

Wat betekent dat voor de formule?
Nou, als elke B 7,00 groter wordt kun je zeggen:  "Nieuwe formule is oude formule plus 7,00" ofwel:

 

B =  1,70 G + 7,00

       
Wat kunnen we uit dit alles concluderen?
       
De formule van een willekeurige rechte lijn ziet er altijd uit als  y = ax + b  waarbij a het hellinggetal is, en b het snijpunt met de y-as (dat punt P (0,7) van het vorige voorbeeld, weet je nog?).
 

       
       
Nou je dit eenmaal weet kun je een rechte lijn waarvan de formule gegeven is natuurlijk makkelijk binnen 5 seconden tekenen. TOCH???

Stel dat je bijvoorbeeld de lijn y = 0,5x + 3 moet tekenen.
Nou dan begin je bij 3 op de y-as en gaat dan steeds 1 opzij en  0,5 omhoog.
Binnen 5 seconden heb je de lijn hiernaast!

PAS OP!!
Kijk wel even goed uit welk getal a is en welk b. Het is niet zo dat a altijd het eerste getal is en b het tweede. Soms is je leraar in een melige bui en zet hij de formule expres verkeerd om neer!  Ikzelf zou zoiets natuurlijk als leraar NOOIT doen, maar ja, ik ken jouw leraar niet.... misschien is het wel een eikel....
Zo kun je de formule y = 0,5x + 3 natuurlijk net zo goed schrijven als 
y
= 3 + 0,5x. Flauw h?

 
TRAP DAAR NIET IN: 
Blijf vooral cool en relaxed en kijk gewoon steeds welk getal bij x staat:dat is het hellinggetal a, en b is altijd het "losse" getal dat alleen staat.
       

a staat bij x
b
staat alleen

         
Stressoefening 1:

Pak een papier en teken alvast een assenstelsel waarbij x en y beiden van -10 tot en met 10 lopen.
Als je op de knop hieronder clickt, dan krijg je een aantal vergelijkingen van rechte lijnen. Probeer er zoveel mogelijk van te tekenen voordat de laadbalk is volgelopen.
         
 

   
Stressoefening 2:

Hieronder verschijnen steeds grafieken van rechte lijnen, met ernaast 4 mogelijke formules.
't Is multiple-choice:  Noteer steeds welke formule (a, b, c of d) volgens jou bij de getekende lijn hoort.
pas op:  de lijnen verschijnen steeds sneller en zijn dus steeds korter te zien. ik ben benieuwd hoe ver je komt......
pas extra op:  oeps, ik ben tch een eikel...
         
 

 

       
OPGAVEN
         
1. Stel een vergelijking op van de volgende rechte lijnen:
         
 

         
2. Recent onderzoek heeft uitgewezen dat de gemiddelde temperatuur van de aarde langzaam stijgt. Een aantal wetenschappers heeft het lineaire model  T = 0,02t + 8,50 voorgesteld, waarbij t de tijd in jaren is vanaf 1900
(dus t = 0 in 1900), en T de gemiddelde temperatuur in graden Celsius.
         
  a. Wat stelt het getal 8,50 in de praktijk voor?
         
  b. Wat stelt het getal 0,02 in de praktijk voor?
         
  c. In 2014 was de gemiddelde temperatuur 10,6 C
Hoeveel hoger of lager is dit dan het model voorspelde?
         
  d. Wanneer zal de gemiddelde temperatuur volgens dit model gelijk zijn aan 11,5 C
         
3. Gerard speelt al jarenlang bij de golfclub. Het basislidmaatschap is per jaar 185,- maar daarnaast moet hij elke keer dat hij de baan gebruikt ook nog 5,- speelgeld betalen. Daarnaast is hij nog meer geld kwijt. Een golfbal kost 1,50 en die raakt hij regelmatig kwijt omdat hij ze de bosjes of het water in slaat. Per twee keer spelen is hij wel een bal kwijt.  
Stel een formule op voor het geld dat Gerard per jaar kwijt is als functie van het aantal keer dat hij heeft gespeeld.
         
4. Een werknemer wil in verband met zijn nieuwe baan gaan verhuizen van Groningen naar Maastricht. Daarvoor zoekt hij een verhuisbedrijf. Hij heeft berekend dat alles wel in n verhuiswagen kan, en leest de offertes van twee verhuisbedrijven. Het betreft de bedrijven Budget Verhuisservice,  Mast BV.
Elk bedrijf vraagt voor het gebruik van een verhuiswagen een vast bedrag per dag. Verder komt daar nog bovenop een bedrag per kilometer.
Budget Verhuisservice vraagt voor de wagen 400,-  en verder per km nog 2,50.
Mast BV  vraagt voor de wagen 550,- en verder per km nog 1,60.
         
  a. Stel formules op voor de totale vervoerkosten K als functie van de afstand a
         
  b. Schets de grafieken voor beide verhuisbedrijven en lees af bij welk aantal kilometers bedrijf Mast BV de goedkoopste is.
         
5. We hebben een heleboel lijnen die er uitzien als y = ax + 4 - 3a
Daarbij is a een willekeurig getal.
Wat hebben al deze lijnen met elkaar gemeenschappelijk?  Onderzoek dat door er een aantal te tekenen.
Kun je deze eigenschap ook met de formule verklaren?
         
         
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)