Kwadraatformules uit verhaaltjes...

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Er zijn een paar "soorten" verhaaltjessommen waar kwadraten in voorkomen.
Hier volgen van die soorten een voorbeeld. 
soort 1:  omzet
In veel economische modellen blijkt dat het aantal verkochte producten afhangt van de prijs per product.
Als de prijs ergens van hoger wordt, dan wordt het aantal verkochte producten lager.
Voor de omzet (dat is de totale hoeveelheid geld die er binnenkomt) geldt  O = prijs • verkochte aantal
Als dat verkochte aantal nou lineair van de prijs afhangt dan krijg je voor de omzet een kwadratische formule. 
Kijk maar:
voorbeeld
Een marktkoopman merkt dat hij meer sinaasappelen gaat verkopen als hij de prijs ervan  verlaagt. Op dit moment verkoopt hij per dag 120 kg sinaasappelen voor een prijs van €2,30 per kilo. Hij heeft ontdekt dat bij elke 10 cent prijsverlaging hij 15 kg extra verkoopt. Stel een formule voor zijn omzet als functie van de prijs op.

Stel dat hij x keer 10 cent van de prijs afhaalt. Dan wordt zijn nieuwe prijs in centen  p = 230 - 10x.
Het aantal kg dat hij verkoopt is gelijk aan 120 + 15x
Zijn omzet is dus  
(230 - 10x)(120 + 15x) = -150x2 + 2250x + 27600  
en dat is een kwadratische functie.

De maximale omzet vinden we bij de top van deze parabool en die ligt bij p = 7,5.  Hij moet daarvoor dus een prijs van 230 - 10 • 7,5 = 155 cent per kilo vragen. 

soort 2Oppervlakte
Als bij een grotere lengte een kleinere breedte hoort, dan zal de oppervlakte van een figuur vaak een kwadratische functie zijn.

voorbeeld
Hiernaast staat een rechthoekige driehoek ABC met rechthoekszijden 4 en 6 getekend met daarin een rechthoek. De vraag is:  Wat is de maximale oppervlakte van deze rechthoek?

Als A de oorsprong is, dan is CB de lijn y = 4 - 2/3x 
Dus als F ligt bij x = p dan is de hoogte EF = 4 - 2/3p
De oppervlakte is dan  AF • FE = p • (4 - 2/3p) = 4p - 2/3p2 
Dat is een parabool met de top bij  p = 3 en dan is de oppervlakte gelijk aan  4 • 3 - 2/3 • 32 = 6 
voorbeeld
In een rechthoek van 6 bij 4 wordt in de hoek een vierkant A getekend. Daardoor ontstaat automatisch een rechthoek B.
Hoe groot moet dat vierkant worden als de oppervlakte van A en B samen  gelijk is aan 13,5?

Stel dat A x bij x is, dan is B  (6 - x)(4 - x)
Samen is dat  x2 + (6 - x)(4 - x) = x2 + 24 - 10x + x2 
= 2x2 - 10x  + 24

Dat moet gelijk zijn aan 13,5:

2x2 - 10x  + 24 = 13,5   geeft  2x2 - 10x + 10,5 = 0
Dat geeft x = 3,5  of  x = 1,5
   
  OPGAVEN
1. Bereken x in de figuur hiernaast als de totale oppervlakte gelijk is aan 72

   

x = 5

     
2. Een grasveld heeft de vorm van een rechthoekige driehoek met twee zijden van 20.
Er wordt een rechthoekig terras op aangelegd met breedte x.
Bereken x als de oppervlakte van het terras gelijk is aan 96.

   

8  of  12

3. Een vishandelaar verkoopt in zijn kraam gebakken kibbeling voor €2,95 per portie. Hij verkoopt bij deze prijs 120 porties per dag, maar een beetje experimenteren met de prijzen leert hem dat hij voor elke 5 cent prijsverlaging 8 porties extra verkoopt.
Voor zijn omzet aan kibbeling op een dag geldt dan  O(p) = -1,6p2 + 592p
Daarin is p de prijs per portie in centen en O zijn omzet in centen.
     
a. Toon aan dat deze formule juist is.
     
b. Bereken bij welke prijs de man een maximale omzet haalt, en hoe groot deze maximale omzet is.

p = 185
O = 54760

De man heeft echter ook onkosten, en die zijn per portie kibbeling gelijk aan  €1,40
c. Stel een formule op voor de winst aan kibbeling op een dag, en bereken bij welke prijs de man de meeste winst maakt.
   

p = 255

4. In een tuin van 8 bij 6 meter worden paden aangelegd die overal even breed zijn. De breedte van de paden wordt zó gekozen dat de oppervlakten van de paden en van het overgebleven gras even groot zijn.
Hiernaast zie je twee mogelijkheden om de paden aan te leggen.
Noem de breedte van de paden x  en bereken in beide gevallen hoe groot deze x moet zijn.
     

x = 1, x = 2

5. Vierkant ABCD heeft zijden van 5 cm.
Binnen dit vierkant is een kleiner vierkant PQRS getekend.
Hierbij is AQ = BR = CS = DP = x cm.
Voor welke x is de oppervlakte van PQRS 17 cm2 ?

     

4 of 1

6. Het aantal leden van voetbalvereniging GVAV is de laatste jaren erg gestegen.
In 2000 was het aantal leden 320, maar vanaf 2000 nam het aantal leden elk jaar toe met 12.
De contributie was in 2000 gelijk aan €130,-  maar die heeft men sindsdien elk jaar met €4,- verhoogd.
     
a. Maak een formule voor de totale hoeveelheid contributie die de penningmeester in een jaar binnenkrijgt als functie van het jaar (neem t = 0 in 2000)
   

48t2+2840t+41600

b. Als dit zo doorgaat, in welk jaar zal de totale contributie van alle leden dan voor het eerst meer dan €100000 zijn?
     

2017

7. In de onderstaande figuren zijn roosterpunten op het oppervlakte van een kubus getekend. De ribben van de kubussen zijn achtereenvolgens  1, 2, 3, ...

Voor een kubus met ribbe n is het aantal stippen gelijk aan A = 6n2 + 2
a. Toon aan dat deze formule juist is.
   
b. Bij de hoeveelste kubus zullen er voor het eerst meer dan 1 miljoen stippen zijn?
 

nr. 409

c. Bij de hoeveelste kubus is de toename van het aantal stippen vergeleken met de vorige kubus meer dan 1000?
 

nr.84

8. Een busmaatschappij organiseert een groepsreis naar Spanje. Ze vragen per passagier €320,-  en merken dat zich 30 passagiers aanmelden.
Dat vind men een beetje weinig (daarmee is de bus lang niet vol) en daarom besluit men tot de volgende slimme reclameactie.
Voor elke passagier die zich extra aanmeldt wordt de prijs per persoon €5,- lager!  Zo hoopt men dat passagiers ook vrienden en bekenden zullen aanmoedigen mee te gaan.
Bij welk totaal aantal passagiers zijn de opbrengsten voor de busmaatschappij maximaal?

47

9. Van een vierkant wordt de breedte 6 kleiner gemaakt en de lengte 3 groter. Dan ontstaat een rechthoek met oppervlakte 70.
Hoe groot was het vierkant?
 

11 bij 11

 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)