© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Kletterdriehoeken.
       
Eerst maar even wat dat voorstelt:  
       

Teken in een driehoek een zwaartelijn, een hoogtelijn en een bissectrice,
elk vanuit een ander hoekpunt.
Als die drie door één punt gaan, dan is de driehoek een Kletterdriehoek.

       
Hier zie je er twee:
       

       
Tekenen is natuurlijk een makkie:
• teken lijnstuk AC en een halve lijn vanaf A  (later AB)
• teken de bissectrice van hoek A.
• teken de hoogtelijn vanuit C loodrecht op die halve lijn
• teken de lijn door het midden van M die ook door  het snijpunt van de hoogtelijn en de bissectrice gaat
• waar die lijn de halve lijn vanuit A snijdt ligt punt B.

Als je ook de buitenbissectrice van hoek A toelaat kun je stomphoekige Kletterdriehoeken krijgen. Hier zie je wat je krijgt als je in bovenstaande twee voorbeelden de buitenbissectrice neemt:
       

Waarom trouwens deze vreemde naam?
       
       
       
Op jacht naar een formule.
       
Neem de Kletterdriehoek hiernaast.

De stelling van Ceva zegt:  AD/DB • BE/EC • CM/MA = 1

Maar omdat M het midden van AC is kun je die laatste wel weglaten:
Dat geeft:    AD/DB • BE/EC = 1

De bissectricestelling (opgave 2 in deze les) zegt:    BE/EC = c/b
samen met DB = c - AD  geeft dat:

AD/(c - AD) • c/b  = 1
  AD • c = b(c - AD)
  AD • c = bc - b • AD
  AD(b + c) = bc
  AD = bc/(b + c)   ............(1)
en dus   DB = c - bc/(b + cc²/(b + c...........(2)
       
Een vereenvoudiging.

Laten we een oorsprong (altijd handig bij berekeningen) in A leggen, de x-as langs AB, dan is punt B het punt  (c, 0).



Dat geeft dan uiteindelijk het mooie resultaat:      AD = ½c(2 - c)  en  DB = ½c2      ........(3)
       
Tijd voor Pythagoras.

in driehoek ADC:  AD2 + CD2 = AC2   dus (met (3))   CD2 = AC2 - AD2  =  (2 - c)2  - ¼c2(2 - c)2 

in driehoek DBC:  BC2 = CD2 + DB2 = (met het vorige resultaat en (3)) = (2 - c)2  - ¼c2(2 - c)2  + ¼c4  = a2
a2 = 4 - 4c + c2 - ¼c2(4 - 4c + c2) + ¼c4
a2 =  4 - 4c + c2 - c2 + c3 - ¼c4 + ¼c4

a2 = 4 - 4c + c3 
a = (c3 - 4c + 4)
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)