© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

KGV en GGD.
       
Kleinste Gemene Veelvoud (KGV)

Als je twee getallen hebt dan is het kleinste gemene veelvoud (KGV) daarvan het kleinste getal (wel groter dan 0) dat door beiden deelbaar is
Dat werkt zσ:  stel dat we de getallen  440 en 4900 hebben. Als je het getal dat door beiden deelbaar is zoekt, dan kun je de tafel van 440 en de tafel van 4900 gaan opschrijven:

440 - 880 - 1320 - 1760 -....
4900 - 7350 - 9800 - 14700....

En dan is het getal dat je zoekt de eerste die in deze beide rijen voorkomt. De eerste "dubbele" zeg maar. Maar ja, dat is wιl even zoeken natuurlijk......
       
Met ontbinden in priemgetallen gaat het veel sneller:

440 = 2 • 2 • 2 • 5 • 11
4900 = 2 • 2 • 5 • 5 • 7 • 7

Als een getal door beiden deelbaar moet zijn dan moeten al die priemfactoren erin zitten:
van de 440 zijn dat 2, 2, 2, 5 en 11
van de 4900 zijn er dan al 2, 2, 5 dus die hoeven niet meer.  Extra komen erbij  5, 7 en 7.

Samen geeft dat  2 • 2 • 2 • 5 • 11 • 5 • 7  • 7 =  107800

Even een stellinkje om te oefenen:

Stelling:  "Als  a | c  en  b | c  dan is  KGV(a, b) | c "
Bewijs:
  Deel c door het KGV en noem het quotiλnt daarvan q en de rest r, dus  c =  q • KGV + r
Maar omdat  a een deler van c is en ook van KGV, geldt:   c = xa  en   KGV = ya  (x en y geheel)
Dan staat er  xa  = qya + r   dus  r  = a(x - qy)  dus is a een deler van r
Op precies dezelfde manier vind je dat ook b een deler van r is.
r is dus een veelvoud van a en van b maar r < KGV (want het was de rest bij deling door KGV)
Omdat KGV het kleinste gemene veelvoud was kan dat alleen maar als r = 0, dus  is  KGV een deler van c.
q.e.d.    
       

Grootste Gemene Deler (GGD)

De grootste gemene deler  (GGD) van twee getallen, dat zagen we al eerder,  is het grootste getal dat een deler van beiden is.  Om de GGD te vinden gebruikten we het Euclidisch algoritme, maar het kan natuurlijk ook met priemgetallen. 

Omdat de deler van een getal altijd is opgebouwd uit een selectie van de priemfactoren, kiezen we bij de grootste gemene deler van twee getallen dus de grootst mogelijke selectie van priemfactoren die in beide ontbindingen voorkomen. Neem bijvoorbeeld weer 440 en 4900
440 = 2 • 2 • 2 • 5 • 11
4900 = 2 • 2 • 5 • 5 • 7 • 7
Wat in beide ontbindingen voorkomt is het stukje  2 • 2 • 5 = 20
Daarom is het getal 20 de grootste gemene deler van 440 en 4900.
       
       
       
   OPGAVEN
       
1. Twee hardlopers lopen rondjes in een stadion. Ze beginnen op tijdstip t = 0 bij de startlijn. De eerste loper doet
280 seconden over een rondje, de tweede loper 315.
Wanneer zijn beide lopers voor het eerst weer beiden tegelijk bij de startlijn?
     

2520 sec
2. Als je van twee getallen a en b het kleinste gemene veelvoud en de grootste gemene deler met elkaar vermenigvuldigt, wat komt daar dan uit?  Toon dat aan!
     

a • b
3. Bereken  1/85 + 1/119
     

12/595
4. In het magazijn van een bedrijf liggen 3150 blikjes kaviaar en 10500 potjes ragout. Men wil daaruit gelijke kerstpakketten samenstellen, en alle blikjes en potjes moeten op.
Hoeveel pakketten worden dat en wat is de inhoud van een pakket?
     

1050 (3 + 10)
5. Drie tandwielen van 36, 45 en 100 tanden zijn gekoppeld met elkaar. Hoe vaak moet het kleinste wiel ronddraaien zodat de wielen weer in precies dezelfde stand staan?
     

25 keer
6. a. Met een rechthoekige terrastegel van 150 bij 84 cm kan een vierkant terras precies betegeld worden.
Hoeveel tegels zijn dan minstens nodig?
     

350
  b. Een rechthoekig schoolplein van 80,85 bij 13,20 meter moet met vierkante tegels betegeld worden.
Hoeveel tegels zijn dan minstens nodig?
     

47432
7. Op het biljart hiernaast wordt een bal vanuit de hoek linksonder onder een hoek van 45Ί weg gestoten. Neem aan dat de bal alsmaar door blijft rollen.
Het biljart heeft binnenafmetingen  180 cm bij 132 cm.

Welk afstand heeft de bal dan afgelegd als hij weer precies in de hoek linksonder aankomt?
Geef je antwoord in gehele cm.
     

5600 cm
8. Kangoeroewedstrijd

Maria heeft 42 appels, 60 peren en 90 kersen geplukt. Ze wil alle vruchten verdelen over zoveel mogelijk mensen.
Iedereen moet hetzelfde krijgen.
Hoeveel mensen kan Maria dan een portie geven?
     

6
9. a. Stelling:     GGD(a, b) • KGV(a, b) = ab
Bewijs deze stelling.		  
       
  b. Stelling:   KGV(xn yn) = (KGV(x, y) )n
Bewijs deze stelling.
       
  c. Stelling:   "In de priemfactorontbinding van een kwadraat komt elk priemgetal een even aantal keer voor"
Bewijs deze stelling.
       
     
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)