kansverdeling integraal


Kansverdelingen.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een kansverdeling is eigenlijk een tabel met bij elke mogelijke uitkomst van een kansexperiment de kans daarop.
Voor het gooien van een dobbelsteen geldt de kansverdeling hieronder met het bijbehorende histogram rechts.

aantal	1	2	3	4	5	6
kans	¹/₆	¹/₆	¹/₆	¹/₆	¹/₆	¹/₆

Nogal saai eigenlijk.
Het wordt al iets interessanter als we bijvoorbeeld de som van twee dobbelstenen bekijken:

aantal	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
kans	¹/₃₆	²/₃₆	³/₃₆	⁴/₃₆	⁵/₃₆	⁶/₃₆	⁵/₃₆	⁴/₃₆	³/₃₆	²/₃₆	¹/₃₆

Drie dingen vallen op aan zo'n kanshistogram. Drie vrij belangrijke dingen, dus laat ik ze maar in een kadertje zetten:

1. De kansen zijn allemaal groter of gelijk aan nul.
2. De kans ergens op is gelijk aan de bijbehorende oppervlakte.
3. De totale oppervlakte is 1.

Ik hoop dat jou dat ook al was opgevallen.
Voor de kans om 10 of meer te gooien moet je bijvoorbeeld die blauwe oppervlakte hiernaast hebben. En voor de kans op een aantal meer dan 3 maar minder dan 7 moet je de groene oppervlakte hebben.
Dan is het ook logisch dat de totale oppervlakte 1 is; de kans dat één van al die mogelijkheden voorkomt is natuurlijk 100%.

Continue kansverdelingen.

Laten we een interessanter soort kansverdelingen gaan bekijken: continue kansverdelingen.
Dat zijn verdelingen waarbij dat wat we meten niet alleen bepaalde waarden kan aannemen, maar ook alle er tussenliggende waarden.
Neem bijvoorbeeld het gewicht van een groep jongeren. Dat is continu, immers dat kan niet alleen 60 of 70 kilo zijn, maar ook 66,8735485653 kilo. In principe zijn alle tussenliggende waarden mogelijk (al is dat in praktijk vaak niet te meten).

Dat heeft een belangrijke gevolg voor de kansverdeling.

Die bestaat nu (in theorie) niet meer uit losse staafjes, maar is één vloeiende kromme geworden.

Voor dat gewicht van die jongeren zou de kromme hiernaast kunnen gelden.
Dat betekent dat de kans op bijvoorbeeld precies 70 kilogram een kans nul heeft! Bij precies 70 kg hoort een verticaal lijntje, en een lijntje heeft oppervlakte nul. Nou is die kans natuurlijk ook nul. Als we zeggen "70 kg", dan bedoelen we meestal "tussen 69,5 en 70,5", en als we zeggen "70,00000 kg", dan bedoelen we iets als "tussen 70,000005 en 69,999995 kg".

De twee regels voor kansverdelingen hierboven blijven gewoon geldig. Als zo'n kromme een "goede" kansverdeling is, dan moet de totale oppervlakte ervan 1 zijn, en dan kun je de kans op een gewicht dat bijvoorbeeld tussen de 60 en 70 kg ligt uitrekenen door de oppervlakte hiernaast te bepalen (merk op dat het niet belangrijk is of die 60 en 70 zélf ook nog mogen, die hebben toch kans nul!).

En zo'n oppervlakte bereken je natuurlijk.......(nu zou er tromgeroffel moeten klinken)..... jawel! Met een Integraal!

Voorbeeld.

Toon aan dat f(x) = 0,0002x³ • (10 - x) voor 0 < x < 10 een mogelijke kansverdeling kan zijn en bereken bij deze kansverdeling de kans dat een waarde tussen de 2 en de 6 valt.

Verder is overal f(x) ³ 0, dus dit zou een kansverdeling kunnen zijn.

De functie f(x) = 6ax - ax² is voor x in [0, 6] een kansverdeling.
Bereken in dat geval algebraïsch P(x > 4)

0,2593

Voor de tijd t die je in een rij moet wachten als je op een willekeurig moment bij de kassa komt blijkt de volgende kansverdeling te gelden: f(t) = 0,1 • e^-0,1t met t ³ 0 en t in minuten.

Toon aan dat dit een mogelijke kansverdeling is.

Bereken algebraïsch de kans dat je minstens 5 minuten moet wachten.

0,6065

Gegeven is de kansverdeling f(x) = 2x • e^-x² voor x > 0

Toon aan dat dit een kansverdeling kan zijn.

Bereken algebraïsch P(x < 0,2)

0,0392

De verwachtingswaarde.

De verwachtingswaarde (E) is hetzelfde als het verwachte gemiddelde, en die bereken je door alle mogelijke uitkomsten te vermenigvuldigen met de kans erop, en dat dan allemaal bij elkaar op te tellen. In deze les wordt dat allemaal haarfijn uit de doeken gedaan.
Bij een discreet aantal mogelijke uitkomsten x_i geldt de formule:

Wij als integraal-experts zien natuurlijk direct hoe dat wordt als er oneindig veel x_i uitkomsten mogelijk zijn (bij een continue kansverdeling):

Daarbij is f(x) de formule van de kansverdeling.

Bereken met je GR bij de opgaven 1 tm 3 de verwachtingswaarde.

3 en 10 en 0,89