h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Interpoleren en Extrapoleren
       
De vraag van vandaag is de volgende:

Stel dat ik een tabel heb met voor een aantal waarden van x de bijbehorende waarde van y
Zoals bijvoorbeeld deze tabel:
       
x 2 4 9 12 13
y 4,3 7,5 9,0 11,1 14,5
       
Kan ik nu berekenen welke waarde van y hoort bij x = 7?

Kan ik er een schatting voor maken?
Nou, eigenlijk kan dat natuurlijk niet, immers y kan alles zijn. We hebben geen formule, helemaal niets!

Toch gaan we een poging doen, onder een paar aannames.

Hiernaast staan de vijf punten uit de tabel getekend. We willen graag weten welke waarde y op de stippellijn zal hebben.

Nou, dat kan van alles zijn!

Kijk maar: hieronder staan een aantal mogelijke grafieken door deze vijf punten.

De y-waarde bij x = 7 varieert nogal!!!!!

       

       
Alle grafieken kloppen met de vijf gegeven stippen en de waarden bij x = 7 zijn  14 en  6,8 en 1,9.
Dat is dus met geen mogelijkheid te bepalen.
Daarom maken we de volgende aanname:
       
Neem aan dat tussen twee gegeven punten de grafiek een rechte lijn is
       
Dat berekenen van een nieuw punt noemen we in zo'n geval lineair interpoleren.
       
Dat betekent dat de grafiek eruit ziet als hiernaast.
We nemen dus aan dat de grafiek tussen x = 4 en 
x
= 9 loopt als lijnstuk PQ hiernaast.

Dat geeft ons de mogelijkheid de waarde bij x = 7 te berekenen.

Omdat P een rechte lijn is betekent dat, dat de toename van de x en de toename van de y een vaste verhouding hebben.

Maar wacht eens even....
Vaste verhouding?

Dan kunnen we een verhoudingstabel maken!!!!!
       

maak een verhoudingstabel voor de toenamen van x en van y

       
Hoe gaat dat dan in z'n werk?

Nou kijk, tussen P en neemt de x toe van 4 naar 9 dus dat is een toename van 5
De y neemt toe van 7,5 naar 9,0 en dat is een toename van 1,5
De verhoudingstabel gaat er dus z uitzien: 
       

       
En wat willen we nou eigenlijk? We willen weten welke y er hoort bij x = 7
Maar bij x = 7 is de toename van de x gelijk aan  3  (van 4 naar 7)
Daarmee maken we de tabel verder:
       

       
Nou zijn we weer op bekend terrein:   ? = (3 1,5)/5  =  0,9
De toename van y is dus gelijk aan 0,9.
Maar de y van P was al 7,5  dus dat wordt nu 7,5 + 0,9 = 8,4.
       
Extrapoleren.
       
Nou dat is eigenlijk precies hetzelfde als interpoleren. Het enige verschil is dat de nieuwe waarde die je wilt berekenen naast de andere punten uit de tabel ligt in plaats van ertussenin.

Maar voor de berekening maakt dat niets uit.

Stel dat je de waarde voor x = 8 wilt berekenen uit de volgende tabel:

t 1 2 3 4 5 6
N 1,5 1,0 2,3 3,0 4,7 5,4

Zie de figuur hiernaast.
 

Dan maak je gewoon weer een tabel met de toenames van x en van y.  Dat doe je dan met de laatste twee punten van de tabel.
P = (5, 4.7)  en  Q = (6, 5.4)
Dan geldt:

       
? = 3 0,7/1 = 2,1  dus het nieuwe punt heeft y = 4,7 + 2,1 = 6,8
       
 
       
                                       
       
  OPGAVEN.
       
1. Benader door middel van lineaire interpolatie de waarde van het vraagteken in onderstaande tabellen.
Rond je antwoord, indien nodig,  af op drie decimalen
       
  a.
x 4 9 12 14 19 22
y 3,6 5,4 9,1 ? 16,8 22,3
       
  b.
P   5,8 12,6 24,7 25,3 38,1
t 56,2 48,7 40,2 ? 32,5
       
  c.
W -3,65 -6,38 -10,23 -15,75 -23,65
q 12,5 ? 5,7 1,2 -2,6
       
2. a. Tijdens het koken van water neemt de temperatuur in 5,3 minuten toe van 15,3C tot  86,6C
Bereken met lineaire interpolatie na hoeveel tijd de temperatuur  50C was.
       
  b. Een sportauto trekt op van 0 tot 150 km/uur in 14 seconden.
Bereken met lineaire interpolatie na hoeveel seconden de snelheid  45 km/uur was.
       
3. examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1994.
       
  De leefbaarheid van woongebieden wordt onder andere benvloed door lawaai en stank. Men heeft geprobeerd om de mate van overlast door lawaai en stank voor verschillende woongebieden met elkaar te vergelijken.
Geluidssterkte wordt gemeten in decibel (dB).
Via een lineaire schaal worden geluidssterkten vanaf 50 dB omgezet in een getal L, de lawaai-index. Zie de volgende figuur.

       
 
       
  Bij een geluidssterkte van 50 dB hoort een lawaai-index L = 0, bij 65 dB hoort L = 100. Geluidssterkten beneden 50 dB vindt men niet hinderlijk en krijgen lawaai-index L = 0.
Bereken de waarde van L die hoort bij een geluidssterkte van 61 dB.
       
4. Voor het aantal inwoners (in miljoenen) van Nederland geldt de volgende tabel:
       
 
jaar 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005
inwoners 10,68 11,42 12,21 12,96 13,60 14,09 14,45 14,89 15,42 15,86 16,33
       
  a. Als iemand in 1960 met de gegevens van 1955 en 1960 door middel van lineair extrapoleren zou berekenen hoeveel inwoners Nederland in 2012 zal hebben, welke waarde zou hij dan vinden?
       
  b. Welke waarde voor de bevolking in 2012  zou iemand vinden die de gegevens van 2000 en 2005 gebruikt?
       
  c. Leg duidelijk uit hoe het komt dat de antwoorden op de vragen a en b van elkaar verschillen.
       
5. examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2015.

Het lijkt goed te gaan met het terugdringen van het gifgebruik in de aardappelteelt. Nederlandse aardappelboeren gebruikten in 1998 gemiddeld 32 kg chemische bestrijdingsmiddelen (gif) per hectare (ha). In 2007 was dat gedaald tot 24,5 kg per ha. En het gebruik daalt nog steeds.

Neem aan dat dit gebruik lineair afnam en ook na 2007 op dezelfde wijze lineair blijft afnemen.

Bereken hoeveel kg gif per ha er dan in 2015 gebruikt wordt.

       
 
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)