inhoud schatten


Inhoud Schatten	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Van sommige vreemd gevormde lichamen, die wél redelijk symmetrisch zijn kun je de inhoud redelijk nauwkeurig schatten door het lichaam in "plakjes" te snijden.

Neem bijvoorbeeld de peer hiernaast. Die heeft een aparte vorm, maar als je hem in plakjes snijdt (horizontale doorsneden maakt), dan hebben al die plakjes bij benadering de vorm van een cilinder. De doorsnedes zijn namelijk redelijk goed cirkelvormig en als je de plakjes dun genoeg maakt is de zijkant bij benadering ongeveer recht.

Hiernaast zie je hoe die peer in 10 schijfjes is gesneden, die allemaal als een cilinder zijn getekend.
Samen zullen die 10 schijfjes goed de inhoud van de peer benaderen. Je ziet in het linkerplaatje van de oorspronkelijke peer dat die cilinders aardig goed om de peer passen. Af en toe scheelt het een klein driehoekje, maar dat is soms teveel en soms te weinig, dus die foutjes zullen elkaar ook nog grotendeels opheffen.

In het vooraanzicht van de peer kun je de diameter van de grondvlakken van die 10 cilinders meten.
Stel dat we meten dat de peer 10 cm hoog is, en dat de diameters achtereenvolgens zijn:
2,2 - 3,5 - 4,4 - 5,4 - 6,5 - 7,1 - 7,4 - 7,1 - 6,0 - 3,7

De stralen zijn dan de helft, en omdat de hoogte van al die cilinders 1 cm is, geeft dat voor de inhouden:

π•1,1² • 1 + π • 1,75² • 1 + π • 2,2² • 1 + ... + π • 1,85² • 1

Dat is ongeveer 246 cm³ .

OPGAVEN

Hierboven zie je een clownshoed.
Rechts staat een vooraanzicht van deze hoed met een rooster van lijnen. De schaalverdeling (in cm) staat erbij.

Benader de inhoud van deze hoed met behulp van vijf cilinders.

450-460 cm³

Benader de inhoud van de vaas hiernaast met zes cilinders als de hoogte gelijk is aan 40 cm.

19 - 20 liter

Als je de grafiek van y = x² (een parabool) tussen x = -2 en x = 2 wentelt om de y-as krijg je een lichaam dat een paraboloïde heet.
Bereken de inhoud van die paraboloïde in één decimaal nauwkeurig. Doe dat door een benadering met vier cilinders. (Neem aan dat één eenheid op de assen gelijk is aan 1 cm)

25,06

We gaan deze benaderingsmethode testen op een kegel.
Neem een kegel met hoogte 12 cm diameter grondvlak óók 12 cm.
Dan is de inhoud gelijk aan 144p.

Toon dat aan.

Benader de inhoud van deze kegel met 6 cilinders en bereken hoeveel procent jouw antwoord van de werkelijke waarde afligt.

Koen denkt dat de benadering met cilinders in dit geval elke keer de juiste inhoud geeft. Hij redeneert met de figuur hiernaast als volgt:
"Als ik een kegeldeel benader met een cilinder dan heb ik die rode driehoekjes te weinig maar die groenen teveel. Die zijn precies even groot dus dat heft elkaar op, dus ik krijg precies de goede inhoud".

Leg duidelijk uit waarom de redenering van Koen fout is.