ę h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Andere projecties.
       
 
De meest gebruikelijke manier om een ruimtelijk assenstelsel (met een x-as en een y-as en een z-as) te tekenen is om de y-as en de z-as in het vlak van het papier loodrecht op elkaar te tekenen, en de x-as een stompe hoek met de y-as te laten maken, zoals hiernaast.
       
Militaire projectie.  
       
Bij de militaire projectie worden de x-as en de y-as loodrecht op elkaar in het vlak van het papier getekend, maar wel verdraaid ten opzichte van de verticaal. De z-as wordt vervolgens verticaal getekend. De hoeveelheid draaiing kun je vrij kiezen.

       
Loodrechte projecties.
       
1.  Isometrische projectie.
       
In de isometrische projectie maken de drie assen hoeken van 120║ met elkaar. De eenheden op de drie assen zijn hier even groot.
Om figuren in isometrische projectie te tekenen kun je handig gebruik maken van isometrisch papier.  Dat is papier dat bestaat uit allemaal gelijkzijdige driehoekjes. Hieronder zie je een voorbeeld.
     

       
2.  Ingenieursprojectie.
       
Bij de ingenieursprojectie maken de y-as en de z-as een hoek van 97,2║ met elkaar en deelt de x-as de hoek tussen y-as en z-as doormidden.
De lengteverhoudingen zijn hier  1 : 2 : 2.

       
       
Het algemene geval.

Bij beide vorige projecties (en eigenlijk bij alle loodrechte projecties) hebben we te maken met drie assen  (x, y, z) die loodrecht op elkaar staan, en een vlak T (het tafereel)  waarop de figuur geprojecteerd moet worden.
In het algemeen ziet dat er zˇ uit:
 
       
Hier staat twee keer dezelfde tekening, met het groene tafereel ABC.
Het blijkt dat O' het hoogtepunt is van driehoek ABC.
Dat is logisch, want:
  AO staat loodrecht op vlak OBC dus loodrecht op alle richtingen van dat vlak, dus AO staat loodrecht op BC
  OO' staat loodrecht op vlak ABC dus loodrecht op alle richtingen van dat vlak, dus OO' staat loodrecht op BC
  BC staat loodrecht op AO en op OO' dus op het hele vlak AOO'
  Dus BC staat loodrecht op AO' dus AO' is hoogtelijn van driehoek ABC
  Op dezelfde manier zijn ook  CO' en BO' hoogtelijnen van ABC.
q.e.d.      
       
In de projectie worden de lijnen OA, OB en OC verkort op het tafereel afgebeeld als O'A, O'B en O'C.
De verkortingsfactoren  zijn dan:  vx =  O'A/OA en  vy = O'B/OB  en vz = O'C/OC
Maar dat zijn precies de sinussen van de drie hoeken α, β en γ  die OO' maakt met de assen!! Kijk maar, een simpel gevalletje van overstaande/aanliggende zijden:
       

       
Nou is OO' een vector, en daarvan bekijken we de drie hoeken  , β en γ)  die die vector met drie loodrecht op elkaar staande assen maakt. Daar ken ik toevallig een leuke stelling voor!
       
Kijk naar de figuur hiernaast (een balk). De diagonaal d maakt drie hoeken met de zijden a en b en c 
Omdat ik alleen iets over de hoeken wil ontdekken, neem ik d = 1
(ik teken gewoon met de richting van d een lengte 1, en daarna a, b en c).

Ruimtelijk Pythagoras zegt dan dat  a2 + b2 + c2 = 1

Maar in de figuur hiernaast zie je dat cosα = a/d = a/1 = a  
en  cosβ = b/d = b/1 = b en cosγ = c/d = c/1 = c

Dat geeft   cos2α + cos2β + cos2γ = 1 

Omdat cos2x = 1 - sin2x   geldt dus :
1 - sin2α + 1 - sin2β + 1 - sin2γ = 1
sin2α + sin2β + sin2γ = 2
ofwel:
       

vx2 + vy2 + vz2 = 2

       
Bedenk dat deze regel altijd geldt, ongeacht van de keuze van het tafereel. (Een speciaal geval is als het tafereel loodrecht op een co÷rdinaat-as staat, dan is de factor v in die richting 0, en in de andere twee richtingen is v = 1)

Even kijken wat dat tot gevolgen heeft voor de twee projecties hierboven:
       
1.  Isometrische projectie.
       
Nu is driehoek ABC gelijkzijdig. dus de verkortingsfactor is voor alle zijden gelijk,
Dus  v2 + v2 + v2 = 2  dus   v =  1/3√6   (≈ 0,82)
       
2.  Ingenieursprojectie.
       
Als de verkortingsfactor in de x-richting gelijk is aan v, dan zijn die factoren  in de y- en z-richting beiden gelijk aan 2v
Dat geeft  v2 + (2v)2 + (2v)2 = 9v2 = 2
Dus v = 1/3√2   (≈ 0,47)
       
       
         
  OPGAVEN
         
1. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 1989.
         
 

         
  Van de kerk op de foto wordt de toren nader bekeken. De plattegrond van deze toren is een vierkant van 6 bij 6 m. Het dak wordt gevormd door vier even grote, ruitvormige dakdelen. De laagste hoekpunten van de dakdelen liggen op een hoogte van 18 m. De top ligt op een hoogte van 26 m. De vier hoekpunten van het dak liggen op 22 m hoogte, elk op de symmetrieas van een van de zijmuren.

In de volgende tekening is een begin gemaakt met een tekening van de toren in zogenaamde ingenieursprojectie.

         
 

         
  Voltooi de projectiefiguur van de toren. Teken de lijnen die in werkelijkheid niet zichtbaar zijn als stippellijnen.