De Hyperbool.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
De hyperbool is de laatste conflictlijn die we gaan bestuderen. Het is, net als bij de ellips, de conflictlijn van een punt met een cirkel, maar nu ligt dat punt buiten de cirkel.

De conflictlijn ziet eruit als de rode lijn hiernaast. Daarin is PQ = PF.
Maar omdat  PQ = MP - r  geldt  MP - r = PF
Dat geeft  MP - PF = r

Bij de ellips ontdekten we dat we de hele figuur konden spiegelen zodat ook M de rol van brandpunt kan hebben. Dat gaan we bij deze hyperbool ook doen, maar anders dan bij de ellips levert dat niet dezelfde ellips, maar een tweede tak op:

   

   
Voor die tweede tak geldt dan net als bij de eerste tak ook  F1P - F2P = r
We zullen straks zien dat beide takken in één eenvoudige vergelijking zijn weer te geven. Ze zijn nu al in één regel samen te vatten door te stellen:  |F1P - F2P| = r .

Aan de figuur hierboven zie je al dat de afstand tussen de toppen van de hyperbool gelijk is aan r.
   

Hyperbool:   | d(P, F1) - d(P, F2) | = r

   
We gaan een vergelijking maken door het "midden" van de hyperbool in de oorsprong te leggen en de brandpunten in (c,0) en (-c, 0).
Stel de plaats van de toppen (-a, 0) en (a,0) dan is dus r = 2a

Als P het punt (x, y) is, dan geldt tweemaal Pythagoras:
d(P, F1) = ((x - c)2 + y2)
d(P, F2) = ((x + c)2 + y2)

Dus geldt:  ((x + c)2 + y2) - ((x - c)2 + y2) = 2a

In de volgende opgave ga je, net als bij de ellips, deze vergelijking wat "mooier" schrijven.

   
1. a. Begin met de vergelijking hierboven:  ((x + c)2 + y2) - ((x - c)2 + y2) = 2a

Breng nu de tweede wortel naar de rechterkant en kwadrateer vervolgens beide kanten.
Laat aan de rechterkant alleen de wortel staan en breng de rest naar de linkerkant.
Toon aan dat dat geeft:   cx - a2 = a√((x
- c)2 + y2)
       
  b. Kwadrateer nu opnieuw beide kanten en breng alles met een x of y naar links, en de rest naar rechts.
Toon aan dat je dan krijgt:  x2 • (c2 - a2) - a2y2 = a2c2 - a4
       
  c. Noem nu  c2 - a2 = b2  (dat kan altijd omdat  c > a) en laat zien dat deze vergelijking dan te schrijven is als:
 
 
En het mooie is:  Als je punt P op de linkertak kiest dan leidt dat uiteindelijk tot precies dezelfde vergelijking! Je kunt dat al wel aanvoelen doordat in de vergelijking de x alleen maar in de vorm x2 voorkomt, dus zal de figuur symmetrisch ten opzichte van de y-as zijn, en dat is die ene tak niet!  (Ga zelf de afleiding van de formule voor die andere tak maar na, als je zin hebt, het gaat precies zo als hierboven).

De grote vraag is nu eigenlijk :  Wat stelt die b nou voor? Bij de ellips gaf b de plaats van de snijpunten met de y-as, maar die zijn er nu niet! Hoe zit dat???

Toch is het eigenlijk net als bij de ellips. Het getal b geeft de plaats van de toppen als je de brandpunten op de y-as kiest (die zijn dan (0, c) en (0, -c)). De vergelijking wordt in dat geval:
 
 
Je kunt deze formule makkelijk net zoals hierboven afleiden, maar ik hoop dat je hem nu al "logisch" vindt. Ook die -1. Als de toppen op de y-as liggen dan moet x = 0 immers als oplossing geven  y = ±b....

Samengevat: 
   

   
Translaties.
   
Natuurlijk kun je ook deze hyperbolen weer verschuiven. Dat gaat op precies dezelfde manier als bij cirkels en ellipsen en parabolen. Door x te vervangen door x ± a schuif je de hyperbool a naar links/rechts en door y te vervangen door y ± a schuif je hem a omlaag/omhoog.
Omgekeerd kun je door kwadraat afsplitsen  bij een gegeven vergelijking achterhalen wat die a is geweest dus hoe de hyperbool is verschoven.
Een voorbeeld zal wel genoeg zijn, denk ik...

Voorbeeld:
Geef de coördinaten van brandpunten en toppen van de hyperbool  36x2 - 25y2 - 100y + 325 = 0

oplossing:
36x2 - 25(y2 + 4y) + 325 = 0
36x2 - 25(y2 + 4y + 4 - 4) + 325 = 0
36x2 - 25((y + 2)2 - 4) + 325 = 0
36x2 - 25(y
+ 2)2 = -225
± √(151/4))
   
   
2. Geef een vergelijking van de volgende hyperbolen:
       
  a. Met toppen (-1,1) en (5,1) en brandpunt  (7,1)

16x2 - 9y2 - 64 + 18y -89 = 0

  b. Met top (-2,2) en brandpunten (-2, 6)  en  (-2, -4).

x2 - 24y2 + 4x + 48y + 4 = 0

  c. Door (6,√5) met toppen (-4,0) en (4,0).

x2 - 4y2 - 16 = 0

       
3. Geef de brandpunten en toppen van de volgende hyperbolen:
       
  a. x2 - 7y2 - 14y - 70 = 0

(±63, -1) ,  (±72, -1)

  b. 16x2 - 9y2 - 32x + 36y + 124 = 0
(1,6) (1,-2) (1,7) (1,-3)
  c. x2 - 3y2 + 6x + 18 = 0

(-3, ±3)  (-3, ±12)

  d. 2y2 - x2 - 4y + 2x + 5 = 0

(1±6, 1)  ((-1,1)  (3,1)

       
4. Stel een vergelijking op van de hyperbool waarvan de richtcirkels de cirkels x2 + y2 = 16 en (x - 6)2 + y2 = 16 zijn.
     

5x2 - 4y2 - 30x + 25 = 0

       
5. Stel een vergelijking op van de hyperbool waarvan een richtcirkel (x + 2)2 + y2 = 25 is en een top (5,0).
     

56x2 - 25y2 - 280x = 0

       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)