|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Korte samenvatting van wat je over
hoeken geacht wordt te weten. In de volgende figuren betekenen pijltjes in lijnstukken steeds dat die lijnstukken evenwijdig zijn. Streepjes in lijnstukken betekenen dat ze even lang zijn. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1. Gelijke hoeken. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Je moet eigenlijk vijf speciale
gevallen van hoeken die gelijk zijn uit je hoofd kennen. Laten we ze maar even langslopen. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
F-HOEKEN Als twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn, dan zijn de hoeken hiernaast gelijk. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Z-HOEKEN Ook hier worden twee evenwijdige lijnen gesneden door een derde, en zijn de hoeken hiernaast gelijk. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
X-HOEKEN Ook wel overstaande hoeken genoemd. Als twee lijnen elkaar snijden dan zijn de hoeken tegenover elkaar twee aan twee gelijk. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
BASISHOEKEN In een gelijkbenige driehoek (een driehoek met twee gelijke zijden) zijn de basishoeken gelijk. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
GELIJKZIJDIGE DRIEHOEK In een gelijkzijdige driehoek zijn alle drie de hoeken aan elkaar gelijk en elk 60º. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2. Hoekensom Driehoek. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Bewijs: Dat kun je eenvoudig inzien door het plaatje hiernaast. Door een hoekpunt van de driehoek is een lijn getrokken evenwijdig aan de zijde er tegenover. Vanwege Z-hoeken zijn de rode hoeken aan elkaar gelijk en de groene ook. Bovenaan de driehoek zie je dat een rode plus een groene plus een blauwe gelijk zijn aan een rechte lijn en dat is 180º Maar de drie hoeken van de driehoek zijn ook precies een rode en een groene en een blauwe, dus ook samen 180º |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Gevolg: Dat kun je mooi gebruiken om de som van de hoeken van een willekeurige regelmatige n-hoek te berekenen. Neem bijvoorbeeld de regelmatige negenhoek hiernaast. Als je vanuit één hoekpunt zoveel mogelijk diagonalen tekent, dan zijn dat er 6, en daarmee verdeel je de negenhoek in 7 driehoeken. En de hoeken van die driehoeken zijn samen precies gelijk aan de hoeken van de negenhoek. Dus dat is 7 • 180 = 1260º Elke hoek van de negenhoek is dus 1260/9 = 140º En met een n-hoek zijn er altijd n - 3 diagonalen vanaf een hoekpunt (naar elk hoekpunt behalve de twee aanliggenden en het hoekpunt zélf) en dus n - 2 driehoeken. De som van de hoeken is dan 180 • (n - 2) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3. Notatie | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Als teken voor "hoek" gebruiken
we voortaan: ∠ Als er in een punt maar één hoek is, kun je gewoon spreken over ∠A of ∠B Maar als er meer hoeken samenkomen, zoals hiernaast in punt A is het onduidelijk welke hoek je nou precies bedoelt met ∠A. Er zijn twee mogelijke oplossingen: |
 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| • | Je kunt de hoeken nummeren, zoals hiernaast ∠A1, ∠A2 en ∠A3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| • | Je kunt precies de route noemen die je neemt als je de hoek tekent. Hoek A1 hiernaast zou je dan ∠CAD noemen omdat je de hoek tekent als je met je potlood van C naar A naar D gaat. Of ∠DAC zou ook kunnen natuurlijk. Merk op dat in dit geval het hoekpunt altijd bij de middelste letter zit. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Best handig, af en toe..... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Laatst moest ik laminaat leggen in een kamer
waarvan de muren lang niet loodrecht op elkaar stonden. Ik kon helaas niet meten hoe groot die hoek daar is, want mijn geodriehoek kon ik er natuurlijk niet inleggen door de muren! |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| De eerste plank die ik "op de gok" afzaagde
was dan ook verkeerd: zie hiernaast. Maar toen bedacht ik me, dat ik met behulp van F-hoeken die hoek daar tussen die muren wél precies kon afmeten! |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Kijk, omdat de zijden van zo'n plank
evenwijdig zijn, zijn er in de figuur hiernaast twee rode F-hoeken te
vinden. En bij punt P kun je wél je geodriehoek langs de muur leggen, dus die rode hoek bij P valt precies te meten, en dan weet je die lastige hoek daar tussen de muren ook!! Zoals je wel zult verwachten was de tweede plank die ik probeerde dan ook in één keer precies goed........ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Er bestaat trouwens ook een apparaatje waarmee dit kan; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| OPGAVEN | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
