histogram


Getallen verwerken.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Zo, dus jij wilt graag iets meer weten over de lengte van de Nederlandse mannen in 1950 en in 1970?
Nou vooruit, dan, hier zijn de gegevens van twee steekproeven:

Nederlandse mannen, 1950 (lengte in cm).

177	173	176	169	181	184	178	171	176	171
174	178	182	169	178	175	170	170	173	165
180	175	179	177	179	180	176	174	173	176
170	177	173	176	183	170	172	182	182	173
178	174	171	169	176	180	174	176	178	173
179	180	179	177	175	182	182	174	178	177
170	179	176	180	181	175	181	184	177	172
186	170	183	183	177	179	176	188	176	173
172	174	174	173	170	186	184	176	175	173
179	172	176	178	171	178	173	181	171	173
176	175	182	172	181	183	176	177	177	178
178	177	176	182	174	174	180	171	181	171
179	176	175	179	183	172	174	177	170	179
177	180	172	175	172	173	176	175	179	174
174	174	174	182	177	173	176	176	179	185
171	177	177	176	174	174	181	177	177	172
175	175	174	178	174	175	179	174	170	175
169	178	175	180	173	182	173	173	178	179
173	176	180	178	176	177	173	170	180	177
175	175	168	185	181	175	168	175	167	175
169	174	180	180	180	178	175	172	180	178

Nederlandse mannen, 1970 (lengte in cm).

185	173	176	171	179	176	182	186	177	180
173	179	173	176	179	179	188	180	185	170
179	175	182	185	177	186	175	179	184	183
180	175	178	179	176	176	182	184	171	180
174	184	170	186	181	171	182	181	178	182
178	173	181	177	182	182	180	171	189	182
179	180	186	182	184	179	176	188	175	186
171	179	180	185	176	179	186	176	171	179
182	177	177	182	178	184	189	167	187	185
183	176	179	181	181	177	178	178	185	185
177	176	179	181	167	181	174	189	180	177
166	180	176	177	169	183	180	179	171	181
191	180	174	175	170	180	184	178	185	177
183	188	178	179	184	187	183	183	182	176
173	179	188	176	175	183	172	180	190	169
174	179	171	183	178	175	173	175	180	173
180	181	183	176	179	178	180	183	189	181
182	175	185	171	180	177	177	188	184	177
178	177	176	179	171	181	173	170	180	176
180	186	183	174	186	181	176	181	173	185
177	181	172	179	191	175	180	179	170	176
179	175	181	179	179	175	181	181	180	186
178	187	179	181	182	182	185	178	180	181
172	177	173	181	186	174	176	179	179	179
179	171	183	181	178	173	172	173	185	180
177	178	179	182	177	176	184	184	183	175

Veel plezier ermee!
En.... weet je al iets meer?

Gegevensverwerking

Deze en een aantal volgende lessen zullen behandelen hoe je nou uit zo'n enorme brij van gegevens iets kunt zien. We zullen ons vooral bezighouden met manieren om grote hoeveelheden getallen in beeld te brengen.

De allereerste en ook simpelste manier is natuurlijk om bij bovenstaande tabellen te gaan tellen hoe vaak elke lengte voorkomt. Maak een tabel met in de eerste kolom de gemeten lengtes. Loop nu alle lengtes langs, en zet steeds een streepje in de tabel bij de lengte die je tegenkomt ("turven" heet dat, als je elk vijfde streepje schuin legt).

Daar komt al iets meer structuur in. Het wordt nóg duidelijker als we deze twee tabellen op hun zijkant leggen, en in plaats van streepjes gewoon bij elke lengte een balkje tekenen waarvan de lengte gelijk is aan het aantal streepjes.

Dat is hiernaast gebeurd. Zo'n figuur met staafjes waarvan de lengtes aangeven hoe vaak een waarde voorkomt heet een Histogram. Let erop dat op de x-as dus staat wát er gemeten is, en op de y-as hoe vaak de x-waarde voorkwam. Dat laatste heet de frequentie.

frequentie = "hoe vaak het voorkomt"

Als je de twee histogrammen van 1950 en 1970 onder elkaar legt kun je de verdelingen van de lengtes nog beter met elkaar vergelijken.
Geef toe: die twee histogrammen hiernaast zeggen veel en veel meer dan die verschrikkelijke tabel aan het begin!

Relatieve Frequenties.

Er is nog wel iets vervelends aan de hand met de twee histogrammen hierboven.
In 1970 zijn er 260 mannen gemeten, en in 1950 maar 210. Dat betekent dat de staven van het histogram van 1970 samen langer zijn dan die van 1950. Daardoor zijn de twee figuren lastig met elkaar te vergelijken. De tweede is gewoon groter dan de eerste.

Dit probleem valt te verhelpen door de lengte van de staafjes niet gelijk te maken aan de frequentie, maar aan hoeveel procent deze frequentie van het het totaal is.
Dat heet de relatieve frequentie.
In de twee histogrammen hieronder staan die relatieve frequenties op de y-as. Dat heeft tot gevolg dat de totale lengte van alle staafjes samen in beide figuren gelijk is aan 100 (procent).

De oppervlakte van de figuur is 100%

OPGAVEN

Teken bij onderstaande tabellen een staafdiagram of een histogram. Kies zelf welk van beiden het best past.

Het aantal minuten dat leerlingen uit een klas gemiddeld aan hun huiswerk besteden:

minuten	0 - 20	20 - 40	40 - 60	60 - 80	80 - 100	100 - 120
aantal	2	10	8	5	3	1

Het aantal inwoners van de 6 grootste steden van Nederland op 1 januari 2008:

stad	Amsterdam	Rotterdam	Den Haag	Utrecht	Eindhoven	Almere
inwoners	743600	533910	475680	258520	210330	183270

De lengteverdeling van een grote groep Nederlandse mannen in 2006:

lengte	150 -160	160 -170	170 -180	180 -190	190 - 200	200 - 210	210 - 220
aantal	40	150	330	376	223	68	13

Een leraar wiskunde heeft van de rapportcijfers van zijn klas het relatieve staafdiagram hiernaast gemaakt.

Waarom zou hij voor een staafdiagram hebben gekozen en niet voor een histogram?

Hoeveel procent van de klas heeft een onvoldoende?

25%

Het lijkt alsof er geen zessen zijn gevallen. Maar nader onderzoek wijst uit dat de man gewoon vergeten is de zessen er bij in te zetten! Teken de staaf van de zessen in het staafdiagram hiernaast.

In onderstaand staafdiagram staat de jaaromzet van een bedrijfje uitgesplitst naar seizoen:

Welk jaar was de omzet het grootst?

Welk seizoen was over deze vier jaar in totaal de omzet het grootst?

"Goh, dit seizoen is de omzet veel lager dan in hetzelfde seizoen vorig jaar" mompelt de bedrijfsleider teleurgesteld. Wanneer kan hij dat gemompeld hebben?

In 2005 was de totale omzet gelijk aan 80000. In de lente, zomer, herfst was de omzet hetzelfde, maar in de winter dubbel zo groot. Teken de omzet van 2005 in de figuur hierboven.

Een wiskundige ziet dat het handig is om de jaren én de seizoenen direct met elkaar te kunnen vergelijken, en verzint daarom een driedimensionaal histogram.
Het begin daarvan is hiernaast getekend.

Maak deze tekening af, en leg uit wat er bij de assen van het grondvlak moet staan.

In welk van de volgende gevallen zou je voor een staafdiagram kiezen en in welke gevallen voor een histogram?

Het aantal leerlingen dat in de acht groepen van een basisschool zit.

Men heeft op een dag acht uur achter elkaar aan steeds geteld hoeveel auto's er op een weg voorbijkwamen in een uur.

Voor een aantal leeftijdsgroepen is gemeten hoeveel procent van de mensen roken.

Gooi honderd keer met een dobbelsteen en tel hoe vaak elk aantal ogen voorkomt.

Hieronder staan drie histogrammen, maar het opschrift van de y-as is weggevallen.
Geef bij elk van de drie aan of het om relatieve frequenties of om absolute frequenties gaat, of dat allebeide mogelijk is.

Hieronder staat in een staafdiagram het aantal patiënten dat de afdeling spoedeisende hulp van een ziekenhuis per maand heeft bezocht.

Hoeveel procent daalde het aantal patiënten in de tweede helft van het jaar vergeleken met de eerste helft?

In welke maand was de absolute toename vergeleken met de vorige maand het grootst?

In welke maand was de relatieve afname vergeleken met de vorige maand het grootst?

Het bureau van Maurice de Hond verricht regelmatig peilingen om te kijken hoeveel zetels de politieke partijen bij de verkiezingen zullen gaan halen. Hieronder zie je een staafdiagram van de peilingen van 26 augustus 2012 (voor de verkiezingen van september 2012).
In dit staafdiagram staan de verwachte aantallen zetels na de verkiezingen per partij en ook de aantallen zetels die de partijen voor de verkiezingen in de tweede kamer hebben.

Natuurlijk is het erg interessant hoeveel zetels elke partij wint of verliest.

Maak een nieuw staafdiagram waarin voor elke partij staat aangegeven hoeveel procent zetels de partij volgens deze voorspellingen zal winnen/verliezen vergeleken met de oude situatie.
Welk probleem kom je daarbij tegen?

Leuke vondst...

Iemand moest van de tabel hiernaast een staafdiagram maken, maar het lelijke aan een normaal staafdiagram hiervan is, dat die ene staaf van Amerika veel en veel langer is dan de andere vier.

Dat zou betekenen dat bij een mooi vierkant plaatje de hoogtes van de andere staven slechter af te lezen zouden zijn.
In de figuur rechtsonder zie je hoe de maker dat op een originele manier toch duidelijk wist te tekenen.

land	Duitsland	Nederland	Amerika	Frankrijk	Spanje
inwoners (miljoenen)	82	16	307	64	47

Lastige tabellen: aantallen van aantallen.

Als ergens de aantallen van zijn gemeten, dan staan er in een frequentietabel dus gemeten aantallen. Maar de frequenties zelf zijn óók aantallen! Dat maakt het soms lastig om je goed te realiseren wat nou de metingen zijn en wat de aantallen.
Neem het volgende geval:

Een klas vindt het leuk om bij te houden hoeveel wiskundige fouten een wiskundeleraar in een les maakt.
Dat geeft dan de volgende frequentietabel:

aantal lessen	12	10	9	6	2	1
aantal fouten	2	3	5	8	11	14

In deze tabel staan twee keer aantallen. Wat is nou de frequentie en wat is de meting???

Bedenk je steeds goed wat er gebeurd is. Die 12 lessen en 2 fouten betekent eigenlijk: "Er zijn 12 lessen geweest waarin e leraar 2 fouten maakte". Dus de 12 is een getal dat aangeeft hoe vaak het getal 2 is voorgekomen. Omdat de frequentie altijd is hoe vaak iets is voorgekomen is de 12 de frequentie, en 2 de meetwaarde.
Je kunt het ook zó zien: in dit experiment was de klas aan het opletten of er een fout werd gemaakt. Het maken van een fout was daarom een meting.

frequentie = "Hoe vaak het is voorgekomen"
meetwaarde = "Wat men aan het meten was"

discreet en continu

In de volgende tabel staat de hoogte van de AEX-index voor een aantal opeenvolgende dagen in november 2009 gegeven.

dag	1	2	3	4	5	6	7
AEX	303,2	301,1	305,8	307,6	307,2	305,4	300,5

Teken een staafdiagram bij deze gegevens. laat de y-as van 0 tot 310 lopen.

Maak een tweede staafdiagram waarbij de y-as niet begint bij 0, maar bij 300.

Leg uit welke voor- en nadelen dit tweede diagram heeft vergeleken met het eerste.

De volgende tabel geeft het aantal doelpunten in de wedstrijden van de eredivisie en de eerste divisie in een bepaald weekeinde.

aantal doelpunten	0	1	2	3	4	5	6	7
aantal wedstrijden	10	6	6	3	2	0	0	1

Hoeveel wedstrijden werden er gespeeld?

Teken een relatief staafdiagram.

10.

Hiernaast staan twee bevolkingspiramiden die de opbouw van de 6 klassen van een school weergeven. Op de horizontale as staat het aantal leerlingen, gesplitst in jongens en meisjes. Op de verticale as staat de klas, de onderste staaf hoort bij er eerste klas; de bovenste bij de zesde klas.
Het zijn eigenlijk twee histogrammen tegen elkaar aan!
De bovenste piramide geldt voor 1995, de onderste voor 1994.

We nemen voor het gemak aan dat de leerlingen alleen na de zesde klas van school gaan en dat nieuwe leerlingen alleen in de eerste klas op school komen.

In 1994 is iedereen GESLAAGD!!!!

Wat kun je van de resultaten van de 4e klas in 1994?

Welk jaar zijn er waarschijnlijk weinig nieuwe eersteklassers geweest? Leg uit.

11.

Geef in de volgende gevallen aan wat de meetwaarde was, en wat de frequentie was.

De NS heeft in een periode op een bepaald station bijgehouden hoe vaak de trein in een week te laat was. Dat gaf deze tabel:

aantal keer te laat	12	14	15	18	12	22
aantal weken	3	4	5	7	9	10

Een voetbalcoach heeft bijgehouden hoeveel wedstrijden er hoeveel gele kaarten werden gekregen door zijn team. Dat gaf de volgende tabel:

aantal wedstrijden	6	5	4	3	2	1
aantal gele kaarten	1	2	3	4	5	6

Een leraar heeft bijgehouden hoeveel onvoldoendes er in een jaar op zijn proefwerken werden gehaald. Dat gaf deze tabel:

aantal proefwerken	2	4	5	5	6	10
aantal onvoldoendes	8	4	5	7	8	10

Van een aantal mannen is gekeken hoeveel vrouwelijke collega's ze hebben. Dat gaf de volgende tabel

aantal mannen	4	6	5	2	8	10
aantal vrouwen	2	5	6	8	9	10