grenswaarden problemen


	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Grenswaarden-problemen.

Tot nu toe gaven we bij een differentiaalvergelijking steeds van de oplossing de beginvoorwaarden (meestal een functiewaarde en een afgeleide) steeds bij één x-waarde (meestal bij x = 0). Die beginvoorwaarden konden we dan gebruiken om constanten in de algemene oplossing te bepalen.

Voor grenswaardenproblemen is dat niet meer zo.

We bekijken nog steeds tweede orde differentiaalvergelijkingen:

y'' + p(x) • y' + q(x) • y = g(x)

De beginvoorwaarden zien er nu uit als y(x₀) = y₀ en y(x₁) = y₁ of iets met afgeleiden, of een combinatie van beiden, maar in ieder geval bij verschillende x₀en x₁. Zulke beginvoorwaarden nomen we dan meestal grensvoorwaarden.

Dat geeft nogal wat verschillen.

Op de eerste plaats kunnen we niet meer alleen spreken van homogene differentiaalvergelijkingen, maar ook van homogene grensvoorwaarden. Grensvoorwaarden zijn homogeen als ze in de vorm y(x₀) = 0 en y(x₁) = 0 of y'(x₀) = 0 of y'(x₁) = 0 staan. Anders niet!
Dat is nogal een strenge voorwaarde, maar dat heeft gevolgen voor het oplossen van de vergelijking.

Eerst maar even een voorbeeldje waarbij er niets aan de hand is.

Voorbeeld 1: Los op: y'' - 9y = 0 met y(0) = e³ en y(1) = 1

Je ziet natuurlijk meteen dat dit een tweede orde, homogene differentiaalvergelijking is (de grenswaarden zijn echter niet homogeen)
De karakteristieke vergelijking is   λ² - 9 = 0 dus λ = 3 of λ = -3
De algemene oplossing is dan   y = A • e^3x + B • e^-3x
y(0) = e³ geeft A + B = e³    en   y(1) = 1 geeft Ae³ + Be^-3 = 1
De eerste voorwaarde is B = e³ - A en dat kun je invullen in de tweede:   Ae³ + (e³ - A)e^-3 = 1
A(e³ - e^-3) = 0 geeft A = 0 en dan is B = e³
De oplossing is y = e³ • e^-3x

Maar het is niet altijd zo eenvoudig:

Voorbeeld 2: Los op: y" + 9y = 0

Bijna dezelfde vergelijking. Nu geldt λ = ±3i dus de oplossingen zijn y = cos3x en y = sin3x en de algemene oplossing is y = A • cos3x + B • sin3x
Maar bij deze hangt het nogal van de grenswaarden af of en hoeveel oplossingen er zijn. Kijk maar naar de volgende drie gevallen:

1. y(0) = 1 en y(0,5π) = 2

Dat geeft A = 1 en -B = 2 en de oplossing is y = cos3x - 2sin3x

2. y(0) = 1 en y(2π) = 2

Dat geeft A = 1 en A = 2 en dat kan duidelijk niet: er is geen oplossing.

3. y(0) = 2 en y(2π) = 2

Dat geeft A = 2 en A = 2. Dat betekent dat B willekeurig alles mag zijn!
Er zijn oneindig veel oplossingen: y = 2cos3x + Bsin2x

4. y(0) = 0 en y(0,5π) = 0

Dat geeft A = 0 en B = 0 en de enige oplossing is y = 0. Dat noemen we wel de triviale oplossing omdat dat altijd een oplossing van een homogene vergelijking is.

Het lijkt allemaal nogal veel op elkaar; maar in het ene geval is er één oplossing, en het tweede zijn er geen oplossingen in het derde zijn er oneindig veel oplossingen e het vierde is er alleen maar de triviale oplossing.
Zo'n grenswaarde maakt nogal veel uit!!!