Grafieken  Combineren.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Deze les zullen we bekijken hoe je verschillende grafieken met elkaar kunt combineren.

1. Verschilgrafiek.
       
Net zoals je getallen van elkaar kunt aftrekken (het verschil nemen) kun je dat met grafieken ook.
Hiernaast zie je een grafiek f en een grafiek g. Als je nu de verschilgrafiek wilt tekenen dan neem je bij elke x het verschil van yf en yg. Dat is de lengte van die groene verticale lijnstukjes tussen de grafieken in.

Die lengtes vormen dan samen de nieuwe verschilgrafiek van V.
(denk erom dat V negatief wordt als f  kleiner is dan g).

Je komt dit soort verschilgrafieken misschien wel het vaakst tegen als f de opbrengst van een bedrijf is, en g de kosten.
Het verschil V = f - g is dan namelijk de winst van het bedrijf, en die is natuurlijk best interessant.

       
2.  Somgrafiek.    
       
En wat met het van elkaar aftrekken van twee y-waarden kan, kan natuurlijk ook door twee y-waarden bij elkaar op te tellen. Dat geeft de somgrafiek S = f + g zoals je hiernaast ziet.

       
3.  Schakelen.
       
Als je twee grafieken hebt, en op één van de assen van de eerste grafiek staat ("toevallig") dezelfde grootheid uitgezet als op één van de assen van de tweede grafiek, dan kun je een nieuwe derde grafiek maken waar die grootheid niet meer in voorkomt. Klinkt een beetje als abracadabra misschien, maar het komt erop neer dat als je een grafiek met a en b hebt en een grafiek met  b en c, dan kun je er een nieuwe grafiek met  a en c van maken.
Kijk maar naar de volgende grafieken.
       

       
Die rode grafiek links heeft de letters p en q, die blauwe grafiek heeft q en r
Dan kun je daar een grafiek met p en r van gaan maken op de volgende manier:
- Kies een willekeurige p. Bijvoorbeeld  p = 1.
- Bepaal met de rode grafiek de bijbehorende q. In dit geval q = 5 (zie de groene pijlen)
- Bepaal daarna met de blauwe grafiek de bijbehorende r. In dit geval r = 1.
- Dus bij p = 1 hoort kennelijk r = 1, dus de grafiek van p en r zal door het punt (1,1) gaan.
Nou, bereken gewoon op deze manier nog een heleboel zulke punten (p, r) en je krijgt vanzelf een grafiek met p en r. Hij staat hieronder.
 

       
       
         
  OPGAVEN
         
1. Examenopgave VWO Wiskunde A, 2006.

In de jaren negentig van de twintigste eeuw hebben steeds meer mensen een mobiele telefoon aangeschaft. Om de ontwikkelingen te volgen kijken telefoonbedrijven vooral naar het deelnamepercentage. Dat is het aantal abonnees met een mobiele telefoon in een land, uitgedrukt als percentage van het aantal inwoners van dat land.
  In de grafiek van de figuur hiernaast is weergegeven hoe de deelnamepercentages van Nederland en Italië zich de afgelopen jaren hebben ontwikkeld.

Zoals je in deze figuur kunt zien is het deelnamepercentage van Italië vanaf 1994 voortdurend groter dan het deelnamepercentage van Nederland. Het verschil tussen het deelnamepercentage van Italië en het deelnamepercentage van Nederland is echter niet elk jaar even groot.

Teken in deze figuur de grafiek van dit verschil vanaf 1994. Licht je werkwijze toe.

         
2. Examenvraagstuk

Men gaat er vaak vanuit dat de geluidssnelheid in  lucht 340 meter per seconde is. Dat is niet helemaal waar. In werkelijkheid hangt de  snelheid van het geluid af van de temperatuur. Bij windstil weer wordt het verband bij benadering gegeven door de volgende formule:
 

         
  Hierbij is V de snelheid van het geluid in meter per seconde bij een temperatuur van T graden Celsius.

In de twintigste eeuw varieerde de temperatuur in Nederland van -27,4 ºC tot 36,8 ºC. De laagste temperatuur van -27,4 ºC werd op 27 januari 1942 in Winterwijk gemeten. De hoogste temperatuur van 36,8 ºC werd op 23 augustus 1944 in Warnsveld bereikt.
Neem aan dat de temperaturen gemeten zijn bij windstil weer.
         
  a. Bereken het verschil van de geluidssnelheden bij deze twee temperaturen.
       

39,68

  In de atmosfeer neemt de temperatuur tot op 10 km hoogte lineair af tot -50 ºC volgens de formule
T = 15 - 6,5h.
Hierbij is h de hoogte in kilometer.

Voor het verband tussen V en h geldt bij benadering de volgende formule: V = 331•(1,0549 - 0,0238h)

         
  b. Toon dat aan.    
         
  Een grote afstand, zoals bijvoorbeeld Amsterdam - Toronto, moet met een passagiersvliegtuig snel afgelegd kunnen worden. Dat kan alleen als het vliegtuig hoog vliegt omdat dan de luchtweerstand klein is. Voor passagiersvliegtuigen zoals de Boeing 747 mag de snelheid echter hoogstens 90% van de geluidssnelheid zijn.
Een Boeing 747 wil een snelheid maken van 975 km per uur (270,8 m/s)
         
  c. Bereken tot op welke hoogte dit vliegtuig kan vliegen.
Geef het antwoord in kilometers afgerond op één decimaal
       

9,5

3. Hieronder staan twee grafieken.
In de linker staat aangegeven hoe de kwaliteit (op een schaal van 0 tot 100) van een product vermindert als het in een pakhuis ligt.
In de rechter staat aangegeven hoe de prijs die het product opbrengt afhangt van de geboden kwaliteit.

Maak een grafiek waarin de prijs is afgezet tegen de tijd in het pakhuis.
         
 

         
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)