sina = sinb

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Nou ja, wat een stomme vergelijking" zul je wel denken. "Ik zie natuurlijk meteen de oplossing:  a = b  Dûh!!"
Maar dan vergeet je toch iets!
Om precies te zijn: Je vergeet TWEE dingen!!
En dat zijn dezelfde twee dingen die we al tegenkwamen bij het oplossen van sinx = p
•  De oplossing moet  + k • 2π
•  Er is een tweede oplossing:    π - eerste
En bij cosa = cosb gebeurt precies hetzelfde, alleen is dan de tweede oplossing 2π - eerste.
Denk erom dat in plaats van de a en b van alles mag staan.
Dus, samengevat:

sin a = sin b     a = b + k • 2π    a π - b + k • 2π
cosa = cosb 
   a = b + k • 2π    a = 2π - b + k • 2π

   
Voorbeeld:  Los op in [0, 2π]:     sin(2x + 1/3π) = sin(x)
In dit geval is  a = 2x + 1/3π  en b = x
Dat geeft dus:  2x + 1/3π  = x + k • 2π  ∨  2x + 1/3π = π - x + k • 2π
⇒   x = -1/3π + k • 2π  ∨  3x = 2/3π + k • 2π
⇒   x = -1/3π + k • 2π  ∨  x = 2/9π + k • 2/3π
Dat geeft tussen  0 en 2π de oplossingen:  x = 2/9πx = 8/9π,   x = 15/9π,   x = 12/3π
1. Los op in [0,2π]: 
a. sin(x - 1/6π) = sinx e. sin(x + 1/4π) = sin(3x - 1/3π)
b. cos(x) = cos(x + 1/4π) f. sin(1/2x) = sin(π - x)
c. cos(2x) = cos(x + 1) g. sin(x + 4) = sin(2 - x)
d. cos(x + π) - cos2x = 0  h. cos(2x + 2/3π) = cos(1/6π - x)
2. De vergelijking sin(x) = sin(x+ p) heeft als oplossing o.a.  x = 1/6π.
Bereken drie mogelijke waarden voor  p.
           
3. Olympiadevraagstuk.
In welk van onderstaande figuren zijn de punten getekend waarvoor geldt  cosx = cosy ?
           
 

         

E

4. Teken de verzameling van alle punten  (x, y)  waarvoor geldt:  sinx  ≥ siny.
Neem x en y  beiden in  [0, 2π]
           

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)