π

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Gemengde opgaven, parameterkrommen.
1. Kromme K hiernaast  wordt gegeven door:
x(t) = 1/2-1/2cos(2t) en y(t) = 2/3sin3t

     
  a. Stel een formule op voor de baansnelheid van punt P als functie van t en bereken daarmee de lengte van deze kromme.
     
  Deze kromme is een deel van de grafiek van  y = ± 2/3xx
     
  b. Toon dat aan.
     
  c. Bereken met deze formule opnieuw, nu algebraïsch, de lengte van de kromme.
       
2. Gegeven zijn de parameterkrommen Ka door  x(t) = t3 - at  en   y(t) = t2   en  a > 0
  Die krommen hebben allemaal een vorm zoals hiernaast geschetst.

Het snijpunt met de positieve y-as is het punt  (0, a)

     
  a. Toon dat aan.
     
  b. Onderzoek of het punt waar de snelheid van P minimaal is samenvalt met een punt waar de raaklijn evenwijdig aan de y-as is.
     
  c. Neem a = 2 en bereken de lengte van alleen het lusje in twee decimalen nauwkeurig
       
3. Een  "Tricuspoïde" ziet eruit als hiernaast.
De vergelijkingen zijn  x(t) = 2cost + cos(2t) en y = 2sint - sin(2t)

     
  a. Bereken de coördinaten van de snijpunten van K met de coördinaatassen.
     
  b. Geef een vergelijking van de raaklijn in het punt waar t = 1/4π
     
  Voor de snelheid van punt P geldt  v = √(8 - 8sint)
     

c. Toon dat aan.
     
  d. Bereken de lengte van de tricuspoïde
       
4. Gegeven zijn de parameterkrommen Ka door:  x(t) = sin(t + a)  en   y(t) = cost + cos(3t)
Hieronder zie je voor een aantal waarden van a de kromme Ka
       
 

       
  a. Onderzoek welke waarde van a bij de vierde kromme hoort.
     
  b. Toon  aan dat de kromme met a = -1/2π ook te schrijven is als  y = 2x - 4x3
     
  c. De kromme met a = 1/3π heeft twee snijpunten met de y-as. Bereken de afstand tussen die snijpunten.
     
  d. De kromme met a = 1/6π lijkt een keerpunt te hebben voor t = 1/3π.
Onderzoek algebraïsch of dat inderdaad zo is.
       
5. De krommen met  x(t) = sint  en  y(t) = 2sin(t - aπ)  zijn allemaal ellipsen:
       
 

       
  Als a = 1/2 kun je de snelheid van punt P beschrijven door  v = √(1 + 3sin2t)
       
  a. Toon aan dat dat zo is.
     
  b. Bereken de omtrek van de ellips met  t = 1/2π
       
  c. Bepaal zo nauwkeurig mogelijk de waarde van a die bij de ellips hiernaast hoort. Geef een duidelijke uitleg van je werkwijze.

       
6. Hiernaast zie je de kromme K gegeven door:

 
     
  a. Bereken in graden nauwkeurig de hoek waaronder K zichzelf snijdt.
     
  b. Toon aan dat elk punt van K voldoet aan x2 + (y2 - 1)2 = 1
     
  c. P is een punt van K. Bereken de maximale waarde van OP.
       
7. Een wiel met straal 1 meter rust op de x-as met het ventiel V in de oorsprong. Het wiel gaat rollen over de x-as waarbij het in 2π seconden precies één omwenteling voltooit. We bekijken de beweging die punt V aflegt.
Draait het wiel over een hoek van t radialen (in t seconden dus) dan is de situatie als in figuur 2, met ∠VMP = t. Punt M is dan over een afstand t horizontaal verplaatst.
     
  a. Bewijs dat MP = cost  en dat  VP = sint
Laat vervolgens zien dat de coördinaten van V voldoen aan:
x(t) = t - sinen  y(t) = 1 - cos t
Plot de grafiek van deze parameterkromme (neem t > 0)
       
  b. Tussen t = 0 en t = 2π bevindt V zich tweemaal op hoogte 0,5.  Bereken de afstand tussen de twee punten waarvoor dat zo is.
       
  c. Bereken wanneer punt V een snelheid van  1 m/s heeft.
       
  d. Vanaf een willekeurige plaats van  punt V trekken we een lijn naar de oorsprong. Deze lijn heeft vergelijking y = ax.
De waarde van a hangt dus af van de plaats van punt V, dus ook van de tijd t.

De grafiek van a als functie van t staat hiernaast geschetst.

Geef een functievoorschrift voor deze functie.

       
8. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1997.
     

  De kromme K die in de figuur hiernaast is getekend, is gegeven door:
 

  waarbij t , -1 1, →〉 
     
  a. Bereken de coördinaten van de punt(en) van K waar de raaklijn aan K evenwijdig is aan de y-as.
       
  Er is een waarde van p ∈ R  zo dat de lijn y = x + p  de kromme K raakt.
       
  b. Bereken p.
       
  Voor elke a ∈ R  snijdt de lijn y = a de kromme K in de punten Pa en Qa.
Ma is het midden van lijnstuk PaQa.
       
  c. Toon aan dat de x-coördinaat van Ma gelijk is aan  1 + e-a
       
9. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2006.
       
  De plaats van een bewegend punt P in een assenstelsel wordt gegeven door:
x(t) = cos2t  en  y(t) = cos3t, waarbij t de tijd voorstelt,
met 0 ≤ t π.
De baan van het punt P lijkt op de Griekse letter α. Zie de figuur.

Op het tijdstip t = 0 bevindt P zich in (1,1), dus even ver van de x-as als van de y-as.

     
  a. Bereken het eerste tijdstip na t = 0 waarop P zich wéér even ver van de x-as als van de y-as bevindt.
     

0,2π

  Tussen t = 0 en t = π beweegt P éénmaal over de baan.
Gedurende twee tijdsintervallen bevindt P zich boven de lijn  y = 1/2.
       
  b. Bereken de totale tijd dat P zich boven de lijn y = 1/2 bevindt.
     

1/3π

  c. Onderzoek of de grootste snelheid van het punt P wordt bereikt op het tijdstip t = 1/2π.
     

NEE

       
10. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2012.

Punt P doorloopt in het Oxy-vlak een ellipsvormige baan volgens de bewegingsvergelijkingen

 
  Hierin is t de tijd.
De baan van P is gegeven in de figuur hiernaast

Gedurende de beweging verandert de afstand van
P tot de oorsprong.
       
  a. Bereken de maximale afstand van P tot de oorsprong. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
     

1,04

  b. Bereken exact de snelheid van P als t = 0 .
     

1/22

  c. De baan van P snijdt de lijn met vergelijking y = 2x in de punten A en B
Bereken exact de coördinaten van A en B.
     

1/4√3,±1/2√3)

11. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2017-I.
       
  De baan van een punt P wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen:
   
 

       
  Met t in seconden en x en y in meter.

Als t loopt van 0 tot 2π , doorloopt P de baan precies één keer.
In de figuur linksonder is deze baan weergegeven. Ook is te zien waar P zich bevindt op t
= 0 en in welke richting P zich dan beweegt.
       
 

       
  a. Bereken met behulp van differentiëren de maximale snelheid van het punt P in meter per seconde. Rond je antwoord af op één decimaal.
     

3,6 m/s

  Voor 0 t 2π zijn er vier tijdstippen waarop de x-coördinaat en de y-coördinaat van P aan elkaar gelijk zijn. Op deze tijdstippen bevindt P zich achtereenvolgens in de punten A, O, B en O. Zie de figuur rechtsboven.
       
  b. Bereken exact hoeveel seconden de beweging van A naar B duurt.
     

2/3 π sec

  Een punt Q maakt dezelfde beweging als P, maar Q loopt π seconden vóór op P.
De bewegingsvergelijkingen van Q zijn dan:
   
 

       
  Als t = 1/2π  en als t = 3/2π , vallen P en Q samen. Op alle andere tijdstippen is er sprake van een lijnstuk PQ.
       
  c. Bewijs dat de helling van lijnstuk PQ onafhankelijk van t is.
       
     
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)