© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Gemengde opgaven HAVO Wiskunde A.
 
 
 
1. vuistregels normaal
effectgrootte
wortelformule GR
grafiek aflezen


Op consultatiebureaus  houdt men nauwkeurig de lengte
 van baby’s bij.
De gemiddelde lengte van een pasgeboren baby was in Nederland in 2015 gelijk aan 50 cm.
Natuurlijk zijn niet alle pasgeboren baby’s even lang: L is de gemiddelde lengte.
De lengtes zijn normaal verdeeld en de standaarddeviatie blijkt 8 cm te zijn.
       
  a. Als je de lengtes van 1600 pasgeboren baby's bekijkt, hoeveel van die baby's
zullen dan een lengte tussen de 42 en 66 cm hebben?
       
  De arts van een consultatiebureau heeft in 2019 de lengte van alle pasgeboren baby's  in haar praktijk  bijgehouden en zij vond een gemiddelde lengte van 52 cm. De arts wil statistisch onderzoeken of dat gemiddelde afwijkt van 50 cm. Gelukkig heeft zij wiskunde A op de middelbare school gehad.
Zij berekent daarom de effectgrootte.
Zij vindt een effectgrootte van  0,4.  Precies op de grens tussen "gering" en "middelmatig".
       
  b.

Bereken m.b.v. je GR hoe groot de standaardafwijking van haar metingen zal zijn geweest.  Leg ook met een redenering uit of de effectgrootte bij grotere standaardafwijkingen groter of kleiner zal zijn.

       
  Ook tijdens de eerste paar jaar van het leven wordt de gemiddelde lengte van de baby's bijgehouden.  Er blijkt te gelden:  L = 20 + 10 • √(t + 9).
Daarin is L de lengte van een baby in cm en t de leeftijd in maanden met t = 0 op het tijdstip van de geboorte.
       
  c. Onderzoek met deze formule  in hoeveel tijd de lengte van een baby vanaf de
geboorte verdubbelt.
       
 

Om aan te geven wat een normale lengte is heeft de arts van het consultatiebureau in de figuur hiernaast de grafiek van L getekend plus de twee lijnen waartussen 50% van de baby’s zich bevindt. De baby's tussen die beide lijnen noemen we "normaal".
Een  trotse moeder beweert dat haar pasgeboren baby "normaal"  was, en na 20 maanden nog steeds " normaal" was, ondanks een groei van maar liefst  80%

     
  d. Onderzoek met de figuur of dat een sterk verhaal is, of dat dit inderdaad in principe  mogelijk is.
       
2.

redeneren formule
breuk optellen
formule GR
Max Vcp


In een kroeg merkt men meestal dat er meer drankjes worden gekocht als de temperatuur omhoog gaat.
Het percentage bezoekers (P)  dat meer dan  6  drankjes koopt hangt af van de temperatuur (T) volgens de formule:     

 

       
  a. Laat met een duidelijke redenering zien dat bij stijgende temperatuur het percentage inderdaad toeneemt, en bereken de grenswaarde van dit percentage.
       
  b. Schrijf de formule voor P als één breuk.  
       
 

       
  De drie gezusters en de Groote Griet zijn twee kroegen naast elkaar aan de Grote Markt in Groningen.

De eigenaren  vergelijken het aantal drankjes dat hun  bezoekers op een donderdagavond gebruikten. 

Dat leverde de volgende tabel op.
       
 
Aantal drankjes 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Aantal klanten
GRoote Griet
5 12 34 45 20 14 7 5 4 1
Aantal klanten
Drie Gezusters
4 6 26 31 35 25 10 8 8 4
       
  c. Wat zal, gezien het aantal mensen dat bij de Groote Griet meer dan 6 drankjes nam,  de temperatuur volgens bovenstaande formule zijn geweest?
       
  d. Leg uit door het Max Vcp te berekenen of het verschil in aantallen drankjes tussen beide kroegen gering, middelmatig of groot is.
       
3. tellen
gemiddelde
betrouwbaarheidsinterval
parameter berekenen
grenswaarde beredeneren
   
 

Veel onderzoek in laboratoria wordt gedaan aan muizen.

Om te testen of muizen slimmer zijn dan andere muizen laat men ze een doolhof doorlopen waarbij aan het uiteinde een stuk kaas ligt.  

Hiernaast zie je zo'n doolhof.  In elk van de verticaal getekende gangen zit een rood klapdeurtje, dat slechts in één richting kan worden gepasseerd. Dat verhindert dat een muis terug naar "boven" kan lopen.

Een muis kan langs een groot aantal routes van ingang naar uitgang lopen. In de figuur is een voorbeeld van een route getekend. Twee routes van ingang naar uitgang worden als gelijk beschouwd als dezelfde serie klapdeurtjes wordt gepasseerd.

     
  a. Hoeveel verschillende routes zijn er van ingang naar uitgang in het getekende doolhof?
       
  Daarbij meet men de gemiddelde tijd in seconden die het een muis kost om de kaas te bereiken.
Van een grote controlegroep van 130 muizen is die doorlooptijd gemeten.  Daarbij heeft men verschil gemaakt tussen grijze muizen en witte muizen. De groep bestond uit 80 witte muizen en 50 grijze. De gemiddelde doorlooptijd van de hele groep bleek gelijk te zijn aan 228 seconden.
De gemiddelde doorlooptijd van de grijze muizen was  234 seconden.
       
  b. Wat was de gemiddelde doorlooptijd van de witte muizen?
       
  Men onderzoekt of de muizen slimmer worden als men het fosfodiësterase-4B (PDE4B) enzym blokkeert. Dan kan door de muizen het  middel Sidenafil toe te dienen.
Men noemt een muis "slimmer" als de doorlooptijd minder dan 228 seconden is.
In het onderzoek bleek dat van de 130 muizen die Sidenafil toegediend kregen, er  106  slimmer waren.
       
  c. Geef een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de proportie slimmere muizen in deze groep.
       
  Hoe meer Sidenafil de muizen kregen toegediend, des te lager werd de gemiddelde doorlooptijd. In de volgende tabel staan de gegevens van 5  muizen.
       
 
hoeveelheid Sidenafil (mg) 0,83 1,54 1,92 2,24 2,41
gemiddelde doorlooptijd (sec) 224 200 186 175 169
       
  d. Toon aan dat deze tabel bij benadering een lineair verband beschrijft en geef een formule voor dat verband.
       
  Natuurlijk kan dit effect niet alsmaar doorgaan want dan zouden de muizen op een gegeven moment in nul seconden het doolhof doorlopen!  Het blijkt dat bij een dosis van 3 mg  de doorlooptijd (D in sec) gelijk was aan 148 sec, maar bij hogere doses neemt die doorlooptijd minder snel af.
Vanaf D = 3  bleek te gelden:    D = a/x + 253
       
  e. Bereken de waarde van a
       
  f. Beredeneer met de formule dat de doorlooptijd nadert naar een bepaalde grenswaarde.
       
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)