f (x) = p.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
Omdat  f(x) natuurlijk gewoon het zelfde is als y  (namelijk wat er uitkomt als je x in de gegeven formule invult)  betekent
 f
(x) =eigenlijk dus gewoon
y
= p, waarbij p één of ander constant getal is.
 
Met de grafiek.

Maar als je dat in "grafiektaal" wilt vertalen, dan stelt y gewoon de hoogte van de grafiek voor, dus staat er eigenlijk dat de hoogte van de grafiek gelijk moet zijn aan p.
       

f (x) = p   ⇔   bij welke x is de hoogte van de grafiek gelijk aan p ??? 

       
Het antwoord op zo'n vraag is dan ook gemakkelijk te vinden: teken gewoon een horizontale lijn op hoogte p en kijk waar (bij welke x-waarden) die de grafiek snijdt.
Hieronder zie je een aantal grafische oplossingen:
       

       
Je ziet hierboven direct al dat het aantal oplossingen van de vergelijking f(x) = p  nogal afhangt van p. In deze voorbeelden varieerde het aantal oplossingen van 0 tot 3, maar het zouden er bij andere grafieken natuurlijk gemakkelijk nog veel meer dan 3 kunnen zijn.

Kijk eens naar die grafiek helemaal hier rechtsboven...... Het is de grafiek van  y = x3 - 3x2 + 2x + 1.
Stel dat de vraag zou zijn:  "Voor welke p heeft de vergelijking  f(x) = p  precies twee oplossingen?"
       
Hiernaast zie je wat er in het rechterplaatje voor verschillende waarden van p gebeurt. De groene lijnen geven 1 snijpunt (dus 1 oplossing), de rode lijnen geven 2 snijpunten (2 oplossingen) en de blauwe lijnen geven 3 snijpunten (3 oplossingen).

De vraag:  "Voor welke p heeft de vergelijking f(x) = p precies twee oplossingen?" is dus precies dezelfde vraag als:  "Waar zitten de rode lijnen?"

En aan de figuur zie je dan weer dat dat ook dezelfde vraag is als:  "Waar zitten de maxima en minima van de grafiek?"
 

       

       
Nou, die laatste vraag heb je al veel vaker beantwoord natuurlijk. Los het op met je rekenmachine (calc - maximum/minimum) of als je dat kunt algebraïsch met de afgeleide (f ' = 0). Denk er daarbij wel om dat de waarde van p gelijk is aan de y-waarde van het gevonden maximum/minimum.

In het bovenstaande geval geeft dat trouwens de oplossingen  p ≈ 1,38 
en p ≈ 0,62. Dat zijn dus die rode p's in de figuur hiernaast.



 
   
   
  OPGAVEN
   
1. Gegeven is de functie  f(x) = x3 - 6x + 8
Voor welke p heeft de vergelijking  f(x) = p drie oplossingen?
Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
 

2,34 < p < 13,66

   
2. Gegeven is de functie  f(x) = 2x + 6 + 1/x
Voor welke p heeft de vergelijking  f(x) = twee oplossingen?
Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
 

p > 8,83
p
< 3,17

         
3. Gegeven is de functie  f(x) = (x² - 8)/(4x + 4)

De lijn y = p snijdt de grafiek van f  in de punten A en B.
Bereken p als AB = 8
       

 1 en -2

         
4. examenvraagstuk HAVO wiskunde B, 2016-II
         
  De functie is gegeven door   3√(x3 + 3x2 + 2x)
De grafiek van f snijdt de x-as in drie punten. Zie de figuur.
         
 

         
  a. Bereken de x-coördinaten van de drie snijpunten van de grafiek van f met de x-as.
       

 0, -2, -1

  Verder is gegeven de horizontale lijn l met vergelijking y = p . De grafiek van f snijdt l in drie punten.
         
  b. Bereken voor welke waarden van p dit het geval is. Rond de getallen in je antwoord af op drie decimalen.
       

 -0,727 < p < 0,727

       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)