h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een hele mooie formule voor π.
       
Als je de Euler-formule  eiπ/2 =omschrijft om π apart te krijgen, dan geeft dat:   iπ/2 = lni   dus  π = 2/i lni 
Maar er geldt dat  i = (1 + i)/(1 - i)  en dan staat daar opeens het volgende:

Nou geldt voor ln(x + 1) de volgende reeksontwikkeling:   ln(x + 1)  = x - 1/2x2 + 1/3x3 - 1/4x4 + .......
Laten we deze reeksontwikkeling toepassen op beide ln-nen hierboven.
ln(1 + i) = i +  1/2  -  1/3i - 1/4 + 1/5i + 1/6 - .....
ln(1 - i) = -i + 1/2 +  1/3i - 1/4 - 1/5i + 1/6 + ....

invullen in de π-formule geeft:
π = 2/i {2i - 2/3i  + 2/5i - 2/7i + .....} = 4 {1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ....}

Een prachtige formule, vooral door zijn eenvoud natuurlijk.  Maar helaas om π te berekenen volledig onnuttig!
Dat komt omdat hij veel te langzaam naar π toegaat. Kijk maar:
  4 1 = 4
4 (1 - 1/3) = 2,6667
4 (1 - 1/3 + 1/5) = 3,4667
4 (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7) = 2,8952
......
       
Dat lijkt nergens naar natuurlijk. Zelfs na 53 termen zijn er nog niet eens twee stabiele getallen achter de komma te vinden!

Maar.... misschien kunnen we door een andere variant voor i te gebruiken wel betere series vinden!

Ik denk het wel!!

De Duitse wiskundige Karl Heinrich Schellbach heeft zich daar zo rond 1850 nogal druk mee bezig gehouden. Hier zijn er twee van zijn hand.

Neem de volgende:

En ga nu die vier ln-nen weer uitschrijven met de reeksontwikkeling hierboven.  Dat geeft:

Merk nog eventjes op dat daar gewoon dezelfde reeks als hiervoor staat met alleen elke keer een correctiefactor op de termen.

Dit is trouwens ook een hele mooie:

Schrijf al die ln-nen maar als reeksontwikkelingen uit en je krijgt nieuwe reeksen voor π die sneller convergeren dan die hierboven. Doe dat maar lekker zelf; ik blijf de eerste reeks toch de mooiste vinden!
       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)