h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Hoe gedragen oplossingen zich?
       
In de vorige lessen bekeken we oplossingen van homogene stelsel differentiaalvergelijkingen Y ' = A Y .
We richten ons in deze les op gevallen waarin A een 2 2 matrix is, dus waarin de vector Y bestaat uit twee functies  y1 en y2.  In praktijkvoorbeelden van zulke systemen van twee gekoppelde differentiaalvergelijkingen is de x meestal de tijd.  Daarom zullen we deze les x vervangen door t.
We hebben dus te maken met twee functies y1 en y2 die van de tijd afhangen, en ook van elkaar en van elkaars snelheid van verandering.

Nou kennen we al een oplossing van het homogene stelsel, namelijk  y1 = y2 = 0.  Immers dan is  Y ' = A Y. Als we aannemen dat A een niet-singuliere matrix is, weten we ook al sinds de vorige les dat dat de enige oplossing is.  Dat betekent dat, als ons systeem zich op een bepaald moment t  in de toestand  y1 = y2 = 0  bevindt, dat dat ook zo zal blijven.

De vraag van vandaag is:  "Als het systeem zich op tijdstip t  in een bepaalde toestand (y1, y2)  bevindt, hoe ontwikkelt het zich dan in de loop van de tijd?".  We gaan dat onderzoeken door in een grafiek op de x-as  de waarde van y1 te zetten en op de y-as de waarde van y2Dat geeft bij een bepaalde toestand een punt (y1, y2).  We kijken vervolgens waar het systeem zich even later bevindt.

We kunnen zelfs al een aardig beeld van wat er gebeurt krijgen zonder dat we oplossingen hebben. Dat kunnen we doen door bij elk punt  (y1, y2) aan te geven hoe de vector Y' er uitziet, zodat we weten welke kant het systeem op gaat vanaf dat punt.  Het idee lijkt een beetje (eigenlijk erg veel) op wat we bij enkele differentiaalvergelijkingen al deden door een lijnelementenveld te tekenen. Het verschil is dat toen op de x-as gewoon de tijd kon staan en op de y-as de waarde van y (toen ws er immers maar n y). Nu kan dat niet; de x-as en y-as zijn al in beslag genomen door y1 en y2 ; als je de tijd t ook wilt weten moet je die los bij de grafiek zetten.
       
Voorbeeld.
Daar staat dus  y1' = 2y1 - y2  en   y2' = y1 + 3y2
Laten we voor een aantal punten de vector Y' berekenen:

   
punt  (y1, y2) y1' y2'
(1, 1)
(-1, 1)
(2, 3)
(-2, -1)
1
-3
1
-3
4
2
11
-5
   
Als je de helling in die vier punten tekent krijg je de vier pijltjes hiernaast.
Doe je dat voor een heleboel punten (y1, y2) in het vlak dan krijg je de figuur hieronder.
 

       
Bedenk dat de richting van de pijlen de richting van de tijd aangeeft. Dus als het systeem zich in een bepaalde toestand bevindt geeft de pijl daar aan hoe het "verder zal gaan". In deze figuur kun je al duidelijk krommen zien waarlangs het systeem zich zal "bewegen". Zo zie je bijvoorbeeld dat alle oplossingen "weglopen" van de evenwichtstoestand (alle pijlen gaan weg van de oorsprong). Het systeem wordt daarom wel instabiel genoemd.

Hiernaast zie je een aantal krommen door die pijltjes heen getrokken.  Zo'n schets met zulke krommen wordt ook wel een faseportret genoemd. Meestal worden de blauwe pijltjes nog weggelaten trouwens.

       
       
1. Schets een faseportret van het volgende stelsel differentiaalvergelijkingen:
       
  y1' =  y1 - y2    en    y2' = y1 - 1/4y2
       
       
     

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)