h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Eigenwaarden en eigenvectoren van een matrix.
       
Een eigenvector v  van een matrix  A  is een vector zodat,  als je die vector met A vermenigvuldigt, je er een constant aantal keer die vector uitkrijgt.  Dus:
       

A v = λ v

       

Daarbij  is l een constant getal, en dat getal noemen we een eigenwaarde van matrix A. Een matrix kan een aantal eigenwaarden hebben met bij elke eigenwaarde een bijbehorende eigenvector (dat is die vector v).
Nou zagen we in een vorige les al dat de determinant van een matrix bepaalt hoeveel oplossingen een vergelijking met die matrix heeft. Er gold immers:

       
det(A) = 0 geen of oneindig veel oplossingen
det(A) ≠  0 precies n oplossing.
       
Bovenstaande vergelijking voor de eigenvector kun je schrijven als  A v - λ v = 0  ofwel   (A - λE) v = 0
Nou is het leuk:  ik weet al n oplossing van de vergelijking; dat is natuurlijk v = 0.
Daarom is het geval met  det(A) ≠ 0  niet zo interessant: er is maar n oplossing, en dat moet dan wel v = 0 zijn, want die wist ik al.
Het interessante geval krijg je daarom als je eist dat  det(A - λE) = 0
       

eigenwaarden opsporen:    det(A - λE) = 0

       
Als je de vergelijking   det(A - λE) = 0  opstelt dan geeft dat een  n-de graads vergelijking voor λ (waarbij de matrix een n  n matrix is).  Die vergelijking noemen we de karakteristieke vergelijking die bij de matrix hoort.
       

 

nulstellen geeft  (3 - λ)(6 - λ) - 40 = 0
De  karakteristieke vergelijking is   λ2 - 9λ  - 22 = 0  dus de eigenwaarden zijn  λ = -2  en  λ = 11.
       
Eigenvectoren vinden.
Als je eenmaal de eigenwaarden hebt, dan kun je de bijbehorende eigenvectoren v  vinden door eenvoudig de vergelijking   A v = λ v op te lossen. Tenminste, dat zou je denken.............. 
Laten we het proberen in het voorbeeld hierboven, waar we de waarden  λ = -2  en λ = 11 vonden.
Neem bijvoorbeeld  λ  = -2. 

3a - 2b  = -2a  en   -20a + 6b = -2b
5a - 2b = 0  en   -20a + 8b = 0
Maar daar staat twee keer dezelfde vergelijking!!!! Daar kunnen we dus nooit waarden voor a en b uit vinden.
Hadden we deze ellende kunnen verwachten?

Ja Natuurlijk!!

We hadden nou juist die λ z gekozen dat  det(A - λE) = 0   en dat betekent dat de vergelijking   A v - λ v = 0  f oneindig veel oplossingen heeft f geen n. In ieder geval niet precies n oplossing!  Omdat we verder al weten dat v = 0 een oplossing is, zullen er dus oneindig veel oplossingen zijn. Dus zijn er oneindig veel eigenvectoren.  En dat is ook wel logisch eigenlijk, want als een vector v een oplossing is van    A v - λ v = 0 dan is  pv  k een oplossing.  Het gaat bij zo'n eigenvector v niet om de precieze grootte van de kentallen, maar om de verhouding ertussen. Je mag best gewoon  het eerste kental gelijk kiezen aan bijvoorbeeld 1  (dus a = 1 in het voorbeeld).
Als je dat doet, vind je  b = 21/2.  Maar ook a = 2 en b = 5 is dus goed.

In het algemeen vind je bij het bepalen van een eigenvector n vergelijkingen met n onbekenden die niet op te lossen zijn (de vergelijkingen heten dan afhankelijk). Kies gewoon  n van de onbekenden, en laat n vergelijking weg, dan heb je een stelsel over dat wl op te lossen is.

       
Karakteristieke vergelijking.
       
Bij het zoeken naar eigenwaarden los je de vergelijking   det(A - λE) = 0 op,  en dat wordt een nde graadsvergelijking  (als de matrix A  een  n n matrix is). Elke oplossing l  geeft een eigenvector.  Maar voor zo'n  λ zijn er drie mogelijkheden:
       
1. λ komt maar n keer voor in de oplossingen.  Dat geval zag je hierboven, en het levert n eigenvector op.  Bedenk nog wel dat λ best een complex getal mag zijn, daar doen we niet moeilijk over, kijk maar:
 
 

  De karakteristieke vergelijking wordt  (-1 - λ)(3 - λ) + 5 = 0
-3 + λ - 3λ + λ2 +  5 = 0
λ2 - 2λ + 2 = 0
λ2 - 2λ + 1 + 1 = 0
(l - λ)2 = -1
l - λ = i
λ = 1 i

Neem λ = 1 + i  Dat geeft voor de kentallen a en b van de eigenvector de volgende vergelijkingen:
-a - b  = (1 + i)a  en   5a + 3b = (1 + i)b   maar zoals we intussen al weten is er maar n nodig.
De eerste geeft  b  = - a - (1 + i)a  = a(-2 - i)   Dus als we bijv. nemen a = -1  dan geeft dat  b = 2 + i 

Neem λ = 1 - dan vinden we op een zelfde manier de eigenvector  a = -1 en b  = 2 - i.
 
  Dat laat trouwens wel weer een leuke eigenschap van eigenvectoren zien:
       
 

eigenwaarden en eigenvectoren verschijnen in koppeltjes van geconjugeerden

       

2.

λ  komt vaker voor in de oplossingen  (er zijn "dubbelen" in de eigenwaarden).
  Bij een 2  2 matrix vind je dan maar n eigenwaarde λ.  Soms heb je geluk en levert dat tch twee eigenvectoren op, zoals in het volgende geval:
 
 
    De karakteristieke vergelijking wordt  (2 - λ)2 = 0  en dat geeft alleen maar  λ = 2
De kentallen a en b van de eigenvector voldoen dan aan de vergelijkingen:  2a = 2a  en  2b = 2b
Dat betekent dat we zowel a als b vrij kunnen kiezen  (als je maar niet beiden tegelijk nul kiest). Dit gebeurt eigenlijk altijd bij symmetrische matrices (zoals deze A is)
   
       
  Maar je hebt niet altijd het geluk dat dat zo twee ontkoppelde vergelijkingen geeft.  Soms vind je echt maar n eigenvector.  Neem dit geval:
       
 
    De karakteristieke vergelijking wordt  (λ - 2)2 = 0  en dat geeft weer alleen maar  λ = 2  (dubbel)
De kentallen a en b van de eigenvector voldoen dan aan de vergelijkingen:  a + b = 0  en  a + b = 0
Nu moet er wel een verband tussen a en b zijn, en kun je er maar n vrij kiezen.
   
    In zulke gevallen zul je "andere" manieren moeten zoeken om een tweede eigenvector te vinden. Een matrix waarvoor dit het geval is wordt wel  "defect" genoemd, zo erg is het!  Later daarover meer.
       
Karakteristieke vergelijking:   (1 - λ) ((1- λ)(2 - λ) - 2 0)  + 0 ...... + 0 ....... = (1 - λ)2 (2 - λ) = 0
Twee eigenwaarden:   λ = 2  (enkelvoudig) en  λ = 1  (meerwaardig)
Stel dat de kentallen van de eigenvector  a, b en c zijn.

λ = 2  geeft de vergelijkingen  a + 2b + c = 2a  en   b = 2b  en  2b + 2c = 2c
Dat vereenvoudigt tot  b = 0 en c = c  en   a = c
Kies bijvoorbeeld a = 1  dan geeft dat  a = 1 en   b = 0 en c = 1

λ = 1  geeft de vergelijkingen  a + 2b + c = a  en   b = b  en  2b + 2c = c
Dat vereenvoudigt tot   b = b en  c = -2b  en  c = -2b
Kortom:  je kunt a vrij kiezen, en b ook, en dan is c = -2b   (als je a en b dus maar niet beiden nul kiest)
       
       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)