Economische modellen.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

In de economie wordt veel gebruik gemaakt van wiskundige modellen. De speciale tak van de economie die zich daar het meest mee bezighoudt heet de econometrie.
We bekijken hier een zeer eenvoudig model van een bedrijfje dat een bepaald product produceert. De opbrengst en de kosten voor het bedrijfje hangen af van de hoeveelheid gemaakte producten.
Opbrengst? Kosten?  Eerst maar even een duik in het economische woordenboek:

Kortom: 
Ons bedrijfje maakt q producten, en verkoopt die allemaal voor  p euro per stuk. Dat geeft een opbrengst O van p q euro, en dat zijn de inkomsten van het bedrijfje. Maar er zijn ook kosten K en die hangen meestal ook van q af. De echte winst W van het bedrijfje is wat er nog overblijft als de kosten van de opbrengst zijn afgetrokken:  W = O - K.
De vijf letters  q, p, O, W, K  zul je de komende lessen nog veel tegenkomen......

(In onze modellen gaan we er vanuit dat alle geproduceerde artikelen ook inderdaad verkocht worden. Anders zou de formule O = p q niet gelden).

Break-Even Point.

De kosten kunnen we verdelen in twee soorten kosten:

vaste kosten.
Dat zijn kosten die er altijd zijn, of je nou artikelen maakt of niet. Denk aan zaken als kosten van het bedrijfsgebouw, afschrijving op de machines, personeel dat vast in dienst is, enz.
variabele kosten
Dat zijn kosten die afhangen van het aantal artikelen dat je maakt. Denk aan zaken als grondstofkosten, energiekosten, transportkosten enz.
Vaste kosten zijn kosten die je ook hebt als je niets zou produceren. Bij productie q = 0 heb je dus al wel kosten maar je opbrengst is NUL (je verkoopt immers niets). Dus zal je winst W negatief zijn.
Als je productie toeneemt zullen je kosten ook toenemen (vanwege de variabele kosten) maar hopelijk neemt je opbrengst dan sneller toe. Als dat zo is zal de opbrengst op een gegeven moment (bij een bepaalde productie) de kosten inhalen. Dat is een mooi moment, want als de opbrengst groter is dan de kosten, dan zul je winst maken.

Dat punt waar geldt dat  O = K heet het "Break-Even-Point"  (het punt waarop je  "quitte speelt").
   

O = p q

K
=  vast + q variabel

W = O - K

1. Voor een bedrijfje geldt  K(q) = √(q + 10)  en  O(q) = 0,2q  waarbij q in tientallen is, met  0 < q < 80 en de bedragen K en O in honderden euro's zijn.
       
a. Hoe groot is het verlies bij een productie van 100 artikelen?  
     

247,21

b. Hoe groot is de winst bij een productie van 500 artikelen?  
     

225,40

c. Wat is de verkoopprijs van een artikel?  
     

2

d. Waar ligt het break-even-point?  

326-327 art.

2. Voor een bedrijfje geldt  K(q) = 0,01q3 - 2q2 + 200q +10000  en  O(q) = 250q
       
a. Voor welke productiegroottes wordt er winst gemaakt?  
     

71 < q < 199

b. Stel een formule voor de winst (W) op en bepaal daarmee bij welke productiegrootte de winst maximaal is, en hoe groot deze maximale winst is.  
         

q = 145
W = 8813,75

3. De organisatie van een popfestival merkt na een kort marktonderzoek dat het aantal bezoekers dat een kaartje zal kopen nogal afhangt van de kosten van zo'n kaartje.
In het algemeen geldt:  hoe duurder een kaartje, hoe minder bezoekers.
Maar deze regel is niet altijd waar:  als een kaartje te goedkoop is, denken veel mensen "dat zal wel niets voorstellen" en dan worden er ook minder kaartjes verkocht.
Het volgende model blijkt redelijk te gelden:   T = -12k2 + 120k + 6200
T = aantal verkochte kaartjes, k = prijs van een kaartje.
           
  a. Bij welke prijzen vinden de mensen een kaartje "te goedkoop"?
         

< 5,-

  b. Vanaf welke prijs worden er geen kaartjes meer verkocht?
         

28,27

  c. Bij welke prijs is de opbrengst maximaal?
         

16,87

           
  Natuurlijk brengen grotere bezoekersaantallen ook hogere kosten met zich mee. Denk aan beveiliging, horecapersoneel, schoonmaakkosten e.d.
Voor de kosten geldt de formule  K(k) = 10000 + 500√(200k)
           
  d. Bereken bij welke prijs de winst maximaal is.
         

15,93

           
4. examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2004
           
  Op veel scholen worden er in de kantine kroketten verkocht.
Een leverancier van kroketten heeft voor de beheerder van een kantine uitgezocht dat voor de verkoop van kroketten in de kantine de volgende formules gelden:
TO = 70 q
TK = 1,1 q1,65 + 1830

Hierin is:
TO de totale opbrengst in eurocent per dag.
TK de totale kosten in eurocent per dag
q het aantal verkochte kroketten per dag.

Er worden in de kantine maximaal 400 kroketten per dag verkocht.

           
  a. Bereken de winst als er op een dag 200 kroketten worden verkocht. Rond het antwoord af op gehele euro's.
         

53

  Er is een minimum aantal kroketten dat per dag verkocht moet worden om op de verkoop van de kroketten geen verlies te lijden.
           
  b. Bereken hoeveel kroketten er per dag minstens verkocht moeten worden om geen verlies te lijden.
         

31

  Hoewel de kantinebeheerder niet naar maximale winst streeft, is hij toch nieuwsgierig naar het aantal verkochte kroketten waarbij de winst maximaal is.
           
  c. Bij welk aantal is dit het geval? Licht je antwoord toe.

276 kroketten

Gemiddelden
Niet allen de totale kosten (K) zijn interessant, maar ook de gemiddelde kosten (GK). Dat zijn de kosten per geproduceerd artikel. Als er bijvoorbeeld 120 artikelen worden geproduceerd en dat kost in totaal 570,- dan is dat gemiddeld  570/120 =  4,75 per stuk.
Waarom is dat interessant?
Nou, als je weet dat je gemiddelde kosten per artikel 4,75 zijn, dan betekent dat dat je minstens 4,75 als prijs moet vragen om het break-even-point te bereiken.
Zoals je al zag bereken je de gemiddelde kosten door de totale kosten te delen door het aantal artikelen:

En op precies dezelfde manier kun je de gemiddelde winst, en de gemiddelde opbrengst berekenen: 
GW = W/q  en  GO = O/q

Voorbeeld.

Voor de winst van een bedrijfje als functie van het aantal artikelen geldt   W(q) = 3,5q - 100 - 0,01q2  (met 0 < q < 250)
Bij welke productie is de gemiddelde winst maximaal?

GW = W/q = 3,5 - 100/q - 0,01q
Voer deze functie in bij Y1=  van je rekenmachine en gebruik calc - maximum.
Dat geeft een maximum van 1,50 bij een productie van q = 100


Wat stelt het voor in de grafiek?

Hiernaast zie je een grafiek van K(q).
In punt P zijn de kosten gelijk aan 570 en het aantal producten is gelijk aan 120.
Wat gebeurt er als je 570 deelt door 120?
570 is het blauwe lijnstuk ΔK en 120 het groen Δq. Dus als je die op elkaar deelt bereken je ΔK/Δq en dat kennen we nog van vroeger!
Δy/Δx is immers de helling van een lijnstuk?
Dat betekent dat die 4,75 de helling is van het lijnstuk OP:

GK is de helling van het lijnstuk naar de oorsprong

En hetzelfde geldt uiteraard voor GO en GW als je de grafieken van O en W hebt getekend.
Voorbeeld.
Voor de kosten van een bedrijfje als functie van het aantal geproduceerde artikelen geldt  K(q) = 140 √(0.1q + 4)
Bepaal met de grafiek van K voor welke productiegrootte de gemiddelde kosten per artikel gelijk zijn aan 6,-

Hiernaast is de grafiek van K getekend (de zwarte lijn).
Je zoekt het punt vanwaar de helling van de lijn naar de oorsprong gelijk is aan 6. Nou, los het probleem gewoon achterstevoren op: teken een lijn vanaf de oorsprong met helling 6, en kijk waar die de grafiek van K snijdt.
Dat is de blauwe lijn.
Je ziet dat bij q ≈ 80 de gemiddelde kosten 6,- zijn.

(Een exacte berekening levert q ≈ 81,25, reken dat zelf maar na).

     
  OPGAVEN
5. Voor de totale kosten van een bedrijf geldt (voor 0 < q < 250):

a. Hoe groot zijn de vaste kosten?  
     

125

b. Hoe kun je aan de grafiek van TK zien dat de gemiddelde kosten afnemen als de productiegrootte toeneemt?
       
c. Bereken bij welke productie de gemiddelde kosten ongeveer gelijk zijn aan  4,00.  
     

120-121

d. Hieronder staat de grafiek van TK. Bepaal met deze grafiek bij welke productie de gemiddelde kosten gelijk zijn aan  5,50.  

q 80

6. Voor de totale kosten van een bedrijf geldt TK = 0,00002q3 - 0,013q2 + 3q + 400. Daarin is q het aantal geproduceerde artikelen. Een grafiek van TK(q) staat hiernaast.
a. Bereken met de formule voor TK bij welke productiegrootte de gemiddelde kosten gelijk zijn aan 3,00.

   

214 en 593

b. Bepaal met de grafiek hiernaast bij welke productiegrootte de gemiddelde kosten gelijk zijn aan 4,00.
   

 214 of 593

c. Bepaal met de grafiek hiernaast bij welke productiegrootte de gemiddelde kosten minimaal zijn.
     
d. Bereken met de formule bij welke productiegrootte de gemiddelde kosten minimaal zijn.

391

   
Men gaat de producten verkopen voor  3,00 per stuk.
e. Bepaal met de grafiek bij welke productiegroottes er winst gemaakt zal worden.
     
f. Bereken met de formule wat de maximaal haalbare winst zal zijn en bij welke productiegrootte die bereikt wordt.
         

413.70,  433

7. Laat met formules zien dat in het break-even point (W = 0) inderdaad geldt dat GK = p.
8. Ik kocht drie jaar geleden een groot pakket aandelen, en heb de afgelopen tijd de waarde daarvan goed in de gaten gehouden. Dat leverde mij de grafiek hiernaast op.
W is de waarde in euro, t de tijd in maanden met t = 0 op het moment van aankoop, drie jaar geleden. Punt P hoort bij de huidige waarde van mijn pakket.

Bij deze grafiek past de volgende formule:

W(t) = 2/3t3 - 35t2 + 500t + 1200

     
a. Bereken met de formule hoe groot nu mijn gemiddelde winst per maand is geweest.
   

104

     
  b. Bepaal met de grafiek of er een moment geweest is waarop mijn gemiddelde winst per maand even groot was als nu.
 

16-17

     
9. Een fabrikant van koelkasten ontdekt dat de totale kosten K (in euro per dag ) die hij heeft, afhangen van het aantal geproduceerde koelkasten (q) op die dag volgens de volgende formule:

K(q) = 0,01q3 - 3q2 + 250q + 8000
     
  a. Met welke snelheid nemen de kosten toe bij een dagelijkse productie van 150 stuks?
   

25 per koelkast

  b. Onderzoek of die snelheid van vraag a) gelijk is aan de extra kosten die de 151ste koelkast met zich meebrengt.
   

26,51

  c. Geef een formule voor de gemiddelde kosten per exemplaar en bereken de gemiddelde kosten per exemplaar bij een productie van 160 stuks.
   

76

  d. Bereken de minimale gemiddelde kosten.
   

75,734

     
10. Paulus de Boskabouter heeft het niet makkelijk. Hij behoort tot de absolute minima en heeft grote moeite rond te komen van zijn karige uitkering. Hij besluit er wat bij te gaan verdienen. In zijn holle boom gaat hij puntmutsen maken (zwart) die hij dan op de markt aan zijn  collega-kabouters verkopen kan.
Ga er vanuit dat Paulus alle mutsen die hij maakt ook verkoopt.
Na verloop van tijd ontdekt Paulus dat de prijs (p, in euro) die hij voor een muts krijgt, afhangt van de tijd (t in minuten) die hij eraan besteed heeft volgens de volgende formule:
   

     
  De grafiek van p(t) staat hiernaast.
Lees uit de grafiek de volgende getallen af (leg duidelijk uit).
     
  a. De gemiddelde prijsstijging per minuut tussen de 20 minuten en de 50 minuten werktijd.
   

0,1

  b. De opbrengst van een muts per minuut als hij 40 minuten aan een muts heeft gewerkt.
   

0,1875

  c. Het aantal minuten waarbij de opbrengst per minuut van een muts maximaal is.
   

20

  d. Het aantal minuten waarbij de verkoopprijs toeneemt met 0,20 per minuut.
   

22

  e. Bereken nu de getallen van vraag c. en d.
     

20,00 en 22,36

  Kabouter Paulus werkt 8 uur per dag.
       
  f. Bereken zijn opbrengst per dag als hij besluit aan elke muts 30 minuten te werken.
     

106,67

  g. Geef een formule voor de opbrengst per dag als functie van het aantal minuten dat hij aan elke muts werkt.  (het aantal minuten en mutsen hoeft niet geheel te zijn). Bereken vervolgens de maximale opbrengst.
     

120

       
11. De firma Haribo levert zakjes snoep.  De totale productiekosten K zijn afhankelijk van de geproduceerde hoeveelheid volgens de formule:  K(q) = 0,02q3 - 1,2q2 + 24q + 80
Daarin is q de hoeveelheid in honderdtallen
       
  a. Hoe groot zijn de gemiddelde kosten per zakje bij een productie van 2000 stuks?
     

12

  b. De opbrengst is 0,12 per zakje. Bereken de maximale winst.
     

113,14

       
12. In een kleine timmerwerkplaats worden tuintafels gemaakt. De totale kosten per week kunnen worden berekend met:   K(q) = 0,005q3 - 0,8q2 + 40q + 1500.  De kosten zijn in euro per week, q is het geproduceerde aantal tafels, en is een geheel aantal.
       
  a. Geef een formule voor de gemiddelde kosten per tafel (G) als functie van q, en bepaal voor welke q de gemiddelde kosten minimaal zijn.
     

q = 96

  Stel dat men voor de verkoop een prijs van p euro per tafel vraagt.
       
  b. Bereken de maximale winst als p = 40.
     

1533,99

  c. Bij welke prijs p geeft q = 84 de maximaal haalbare winst?
     

11,44

  d. Bij welke prijs is  q = 50 het break-even point?
     

42,50

       
 

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)