h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Variabele grenzen.
       
In de vorige les over dubbelintegralen hadden we steeds als integratiegebied een mooi rechthoekig stuk, evenwijdig aan de assen, ofwel, x en y  lagen beiden tussen vaste grenzen.
Ook als dat niet zo is, kunnen we methode van de vorige les blijven gebruiken, maar dan moeten we alleen goed oppassen wat de integratiegrenzen zijn.
   

voorbeeld.

Neem de functie  f(x, y) = x + 2y  die we willen integreren over het driehoekige gebied G hiernaast.
De bovenrand van G wordt gegeven door de lijn  y = 1 + x, maar dat had je vast al wel gezien.

Dan zou je eerst ergens een stukje dx kunnen kiezen, en dan bij die x de integraal van alle y-waarden kunnen berekenen.
Je berekent dan de integraal dy over het gele strookje hiernaast.
Maar bedenk daarbij goed dat de y loopt van  0 tot de bovenrand, dus dat is van 0 tot x + 1

Dat geeft voor de integraal:

   
Dit laatste resultaat moet je vervolgens weer integreren over dx, nu voor x van 0 tot 4:

       
Andersom kan nog steeds!
   

Als je eerst de x wilt integreren dan is dat wat lastiger, want bij sommige y-waarden loopt x van 0  tot 4, en bij anderen van de bovenrand tot 4.

Tussen y = 0 en y = 1 heb je van die groene strookjes waarbij x van 0 tot 4 loopt.
Tussen y = 1 en y = 5 heb je van die gele strookjes waarbij x van  de schuine lijn tot 4 loopt. Die schuine lijn is  y = 1 + x  dus  x = y - 1

Daarom moet je de integraal nu in twee delen splitsen:

 

Samen geeft dat  12 + 582/3 = 702/3.
Nou, dat klopt dan tenminste weer.....
   

Gekromde grenzen.
   
Het gebied waarover we integreren kan natuurlijk ook best door krommen worden ingesloten. De aanpak blijft hetzelfde als hierboven.  Een voorbeeldje zal wel genoeg zijn, denk ik.

Stel dat we de functie  z = 2x + y willen integreren over het gebied dat wordt ingesloten door de parabolen  y = x2  en  y =  8 - x2  hiernaast.

Je ziet dat x dan van -2 tot 2 loopt.
Maar bij n bepaalde x loopt y van  x2  tot 8 - x2  (zie de blauwe lijn)
Dat geeft de volgende oplossing:
[8x2 - 1/2x4 + 32x - 8/3x3 + 1/10x5 ]2-2  =  1048/15 - - 1408/15 = 2456/15
 
Merk nog even op dat je rustig moet uitzoeken hoe je die blauwe pijl in de figuur tekent. Hier was verticaal erg makkelijk (steeds dezelfde functies als grenzen). Bij een gebied dat aan de zijkanten wordt ingesloten door twee krommen zal vaak een horizontale blauwe lijn makkelijk werken.

Ach, soms kan zelfs allebei en kun je kiezen! Altijd leuk om zulke opgaven op twee manieren te doen en te kijken of er het zelfde uitkomt! Tenminste dat vind k wel.....De kick als het weer klopt......

       
  OPGAVEN
       
1. Bereken de integraal van  f(x, y) = xy  over het gebied hiernaast.

     

312,5

2. Bereken de integraal van  f(x, y) = y + x2  over het gebied hiernaast.

     

8051/3

3. Bereken de integraal van  f(x, y) = y + x  over het gebied hiernaast.

     

168

4. Bereken het volume van het lichaam onder de grafiek van 
z
= x2 +  ymet als grondvlak het gebied ingesloten door de grafieken van  y = x  en  y = x2
     

3/35

       
5. Bereken de integraal van de functie  f(x, y) =  xy   over het gebied, ingesloten door de parabool 
y
2 = x + 2  en de lijn  y =  x
     

9/8

       
     

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)