Nogmaals de discriminant.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)


parameters algemeen
We zagen al eerder dat de discriminant van een kwadratische vergelijking bepaalt hoeveel oplossingen er zijn. Nog even heel kort samengevat:

ax2 + bx + c = 0
D = b2 - 4ac
D > 0 :  twee oplossingen
D = 0 :  één oplossing
D < 0 :  geen oplossing
Het wordt wiskundig pas echt interessant als we functies bekijken met een parameter (meestal de letter p) erin.
Neem bijvoorbeeld het volgende:

Probleem
Gegeven zijn de lijn  y = 2x + 3  en de parabool  y = x2 + 4x + p
Voor welke waarde(n) van p hebben deze lijn en deze parabool geen snijpunten?

Oplossing.
We doen gewoon alsof we die vervelende p niet in de gaten hebben en gaan de snijpunten van deze lijn en deze parabool uitrekenen (dat zal dus niet lukken vanwege die p maar dat hebben we even niet door):

x2 + 4x + p = 2x + 3
⇒  x2 + 4x + p - 2x - 3 = 0
⇒  x2 + 2x + p - 3 = 0

Dit is een kwadratische vergelijking met a = 1,  b = 2 en c = p - 3
De oplossingen daarvan zijn de snijpunten van de lijn met de parabool.
De vraag is dus eigenlijk:  "Wanneer heeft deze vergelijking géén oplossingen?"
Nou, dat staat in bovenstaande tabel:  Als D < 0
D = 22 - 4 • 1 • (p - 3) = 4 - 4p + 12 =  16 - 4p
Dat is kleiner dan nul als  p > 4
Kortom: de parabool en de lijn hebben géén snijpunten als  p > 4

Het volgende plaatje demonstreert dat nog eens.

   
         
1. a. Voor welke p heeft de vergelijking  2x2 + 3x + p = 0  precies één oplossing?
       

 p = 9/8

  b. Voor welke a heeft de vergelijking  ax2 + 3x - 6 = 0  geen oplossingen?
       

 a <  -9/24

  c. Voor welke p heeft de vergelijking  -2x2 + px + 4  twee oplossingen?
       

 elke

         
2. Voor welke waarden van r snijdt de lijn y = 2x - 3  de cirkel  x2 + y2 = r2  in twee punten?
       
r  > √2
         
RAKEN
Wiskundigen hebben het over twee grafieken die elkaar raken als ze door het zelfde punt gaan, maar daar ook dezelfde helling hebben. Ze liggen als het ware "tegen elkaar aan". In de middelste figuur hierboven is dat het geval.
Voor parabolen en rechte lijnen betekent "raken" niets anders dan  "'één snijpunt hebben", dus het oplossen van het snijpunt zal een vergelijking met D = 0 geven.
3. a. Voor welke p raken de lijn  y = 2x + p  en de parabool  y =  4x - x2  elkaar?
   

p = 1
b. Voor welke p raken de parabolen  y = 2x2 + 3x + p  en  y = -x2 + 4x + 6  elkaar?
   

p = 61/12
c. Voor welke p raken de parabool  y = 4x2 + px + 13 en de lijn  y = x + 4 elkaar?
   

p = 13 of -11
4. a. Voor welke a raken de lijn  y = 2x - a  en de parabool  y = ax2 + 5 elkaar?
   

-11/4±1/2√29
b. Voor welke a raken de parabolen  y = -5x2 + 2x + a  en  y =  2x2 + ax + 23 elkaar?
   

-40 en 16
5. Er zijn twee lijnen door de oorsprong die de parabool y = x2 + 4  raken.
Geef de vergelijkingen van die twee lijnen.
 

y = ±4x
6. Als iemand een projectiel weggooit onder een hoek van 45º met een snelheid v, dan beschrijft dat projectiel een paraboolbaan waarvoor ongeveer geldt: y = vx - (9,8/v²) • x2
Iemand staat onder een schuine  afkapping en wil een bal weggooien. De afmetingen staan in de figuur hiernaast.
Hij gooit de bal weg vanaf punt O dat we als oorsprong kiezen.

     
a. Toon aan dat bij deze keuze van O  de vergelijking van het schuine dak   y = 1,5 + 0,5x  is
     
  b. Met welke snelheden kan de man de bal weggooien zodat hij niet tegen het schuine dak komt? Rond je antwoord af op twee decimalen.
 

v < 3,03
     
7. Twee vriendinnen spelen "overgooiertje" in een sporthal. Ze laten de bal waarmee ze gooien los op een hoogte van 2 meter boven de grond. De bal volgt een paraboolbaan die dezelfde vorm heeft als de parabool y = 1/20x2 
De vergelijking van de parabool zou daardoor kunnen zijn: 
h = -0,05x2 + bx + 2
     
  a. Leg uit hoe deze formule is opgesteld.
     
  b. Hoe ver kunnen ze maximaal uit elkaar staan als de zaal 12 meter hoog is? (de bal mag het plafond niet raken)
     

20√2 meter
       
8. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2012.
 
  Voor c > 0 is de functie fc gegeven door
fc (x) = (x2 - 11x + c)√x .

In de figuur hiernaast  is voor enkele waarden van c de grafiek van fc getekend.

Bereken exact voor welke waarde van c de grafiek van fc de x-as raakt.

     

30,25
       
9.

   
  a. Voor welke waarde(n) van p heeft deze vergelijking geen oplossingen?
     

p = 6
  b. Welke waarden kunnen de oplossingen van deze vergelijking aannemen als p variabel is?
       
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)