h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Differentievergelijkingen en Matrixvermenigvuldigingen.
       
Er is een hele eenvoudige manier om een differentievergelijking om te zetten naar een matrixvermenigvuldiging.
Dat is het makkelijkst uit te leggen met een voorbeeld.

Neem de (derde orde) differentievergelijking:    xn =  2xn - 1 + 3xn - 2 - xn - 3    met x0 = 1 en x1 = x2 = 1

Dan kun je daar supermakkelijk het volgende stelsel vergelijkingen van maken:
       

       
't Is zo simpel dat het bijna voelt als oplichterij, vind je niet?
En toch heb je hier wel wat aan:  je kunt nu deze drie vergelijkingen schrijven als een matrixvermenigvuldiging:
       

       
Noem die matrix M, dan zie je dat je door met M te vermenigvuldigen alle indices van de vector eentje hoger maakt.
Wil je bijvoorbeeld x15 berekenen, dan vermenigvuldig je gewoon met M13  want dan wordt de beginvector (x0, x1, x2) gelijk aan  (x13, x14, x15):
       

       
Die vermenigvuldiging heb ik natuurlijk met mijn GR gedaan, dat snap je wel. Het levert meteen op dat  x15 = 57117

En op deze manier levert een nde orde differentievergelijking een matrixvermenigvuldiging met een n n matrix op.
Nou zul je vast opmerkingen dat je dan net zo goed die differentievergelijking in je GR kunt invoeren (mode SEQ), en op die manier x15 laten berekenen.

En dat is ook zo.

Alleen; soms kunnen we machtsverheffen met matrices sneller doen, als we zo'n matrix kunnen diagonaliseren. Dat staat in deze les.  Het kan dan zelfs een directe formule opleveren.
Dat gaat z:

Voorbeeld.
Gegeven is de differentievergelijking  xn = -2xn - 1 + 15xn - 2  met x1 = x2 = 1

Ga dat vooral zelf na.....

Kortom:  xn = 0,75 3n + 0,05 (-5)n  is een directe formule.
       
         
   OPGAVEN
         
1. En van de beroemdste rijen is die van Fibonacci:   1-1-2-3-5-8-13-21....
Geef een directe formule.
         
         
   
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
 
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)