Hoeken en driehoeken.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
Veel bewijzen in de vlakke meetkunde hebben te maken met driehoeken, en daarbij is het erg vaak nodig om driehoeken op te sporen die precies gelijk aan elkaar zijn. Wiskundigen noemen dat niet "precies gelijk"" maar "congruent", en ze gebruiken er het teken  ≅  voor. Dat zagen we al in de vorige les. Wat bedoelen ze daar ook al weer mee?
   

De driehoeken ABC en DEF zijn congruent:  ABC  ≅  DEF
als al hun overeenkomstige zijden en al hun overeenkomstige hoeken gelijk zijn.

   
De naamgeving kiezen we dan z dat A bij D hoort, B bij E en C bij F.

Voor deze driehoeken geldt dus: 
AB = DE, AC = DF,  BC = EF,  ∠ABC = ∠DEF, ∠BAC = ∠EDF  en  ∠ACB = ∠DFE.
Dat is nogal een werk; zes dingen die je moet nagaan om te kijken of twee driehoeken congruent zijn. Gelukkig kan dat vaak sneller. Het is niet nodig ze alle zes te controleren.

Wat zijn de minimumeisen voor congruente driehoeken?
   
geval 1:  ZHZ  (zijde-hoek-zijde)

Als van twee driehoeken twee zijden gelijk zijn en ook de hoek daartussenin, dan zijn de driehoeken congruent.

Het plaatje hiernaast  hoort daarbij en in opgave 1. van de vorige les bewezen we deze stelling al.

Dat doen we niet wr.....

   
geval 2:  ZZZ. (zijde-zijde-zijde)

Als twee driehoeken drie zijden gelijk aan elkaar hebben, dan zijn ze congruent.
Het bewijs daarvan is iets minder simpel dan de vorige. Je gaat dat nu in de volgende opgave zelf produceren. Denk er daarbij aan dat je het geval ZHZ nu mag gebruiken.
   
       
1. propositie 8:  Het geval ZZZ van congruente driehoeken 
       
 

       
  Neem twee driehoeken ABC en DEF met gelijke zijden zoals hierboven links.
Leg nu de eerste driehoek op de tweede zodat AB op DE komt. 
Stel dat punt C daarbij terechtkomt op een punt C' .

Toon aan dat de twee driehoeken congruent zijn. Gebruik n van de vorige proposities van Euclides.

       
Geval 3.  HHZ  (hoek-hoek-zijde)

Als twee driehoeken twee hoeken en een zijde gelijk hebben zijn ze congruent. Nu zijn er twee mogelijkheden: de bekende zijde ligt tussen twee hoeken in, of aan n van beide hoeken. Zie de beide driehoeken hiernaast.
Het eerste geval is makkelijk, en zal ik nu eerst bespreken. Het tweede geval is wat lastiger, en dat mag jij gaan uitpuzzelen in opgaven 2 en 3 hieronder.
 

Neem twee driehoeken ABC en DEF waarbij ∠ABC = ∠DEF en ∠BCA = ∠EFD en BC = EF zoals hiernaast getekend.

Stel nu dat BA langer is dan ED.
   Dan kun je op BA een stuk (BG) afmeten dat net zo lang is als DE.
   Dan is BG = ED en  BC = EF  en  ∠CBA = ∠FED.
   Dus geldt  BGC ≅ DEF    (ZHZ).
   Maar dan is ∠BCG = ∠DFE = ∠BCA.
   Dat klopt duidelijk niet, want ∠BCA is duidelijk groter dan  ∠BCG.
Dus kan BA niet langer zijn dan ED.
Op dezelfde manier kan ED ook niet langer zijn dan BA. Dus moeten ED en BA wel even lang zijn, en geldt  volgens ZHZ weer dat  ABC ≅ DEF.

   
Opmerking.
Kritische lezers zullen misschien zeggen "Waarom zo moeilijk doen?" Als immers twee hoeken van een driehoek gelijk zijn, dan zijn ze alle drie gelijk (samen zijn ze immers 180) dus zijn de beide gevallen hierboven gewoon hetzelfde! En zijde en alle drie de hoeken (ZHHH)

Die kritische lezers hebben deels gelijk.
Euclides koos waarschijnlijk voor deze omslachtige aanpak, omdat hij dan niet nodig heeft dat de hoeken van een driehoek samen steeds hetzelfde (180)  zijn. Die stelling bewees hij later ook wel, maar daarvoor had hij postulaat 5 nodig. Op deze omslachtige manier bewijst hij ZZH zonder gebruik te maken van postulaat 5.
   
   
2. Als je n zijde van een driehoek naar n kant verlengt dan krijg je een zogenaamde buitenhoek. De rode hoek hiernaast bijvoorbeeld.
Euclides beweert in propositie 16:

     
 

de buitenhoek van een hoek van een driehoek is groter
dan elk van beide andere hoeken van die driehoek.

     
  Noem het midden van AC punt M en verleng BM tot BE zodat
BM = ME. Teken ook lijnstuk EC
Dan geldt dat   ABM ≅ CEM

     
  a. Toon dat aan. Maak gebruik van het feit dat overstaande hoeken gelijk zijn.  (het echte bewijs daarvan volgt in de volgende les).
     
  b. Toon daarmee aan dat  ∠ACD  > ∠BAC
       
  Door het midden van BC te gebruiken kun je op precies dezelfde manier aantonen dat  ∠ACD  > ∠CBA
       
3. Het tweede geval van HHZ.

Neem twee driehoeken BAC en EDF zodat AB = DE en ∠ABC = ∠DEF en ∠ACB = ∠DFE.
Stel dat BC langer is dan EF.
Kies dan punt G z op BC dat geldt BG = EF.
Dan geldt  BGA ≅ EFD

     
  a. Toon dat aan.
     
  b. Toon aan dat dan geldt  ∠BGA = ∠BCA en leg  met de stelling uit opgave 2 uit waarom dat onmogelijk is.
       
  c. Leg uit hoe daardoor het tweede geval van HHZ is bewezen.  
       
       
Geval 4.  ZZH  (zijde-zijde-hoek)

Daarbij ligt die hoek dus NIET tussen beide zijden zoals in geval 1.
Dit is een speciaal geval, en wel omdat de driehoeken niet congruent hoeven te zijn!
Dat kun je het makkelijkst inzien door een tegenvoorbeeld te bekijken.
   

   
In het eerste plaatje zie je het begin van een driehoek waarvan zijde AB vastligt, hoek BAC ook, en waarvan ook de lengte van zijde BC vastligt. Die zijde BC kun je nog draaien om punt B, en dat moet je natuurlijk z doen dat hij de lijn AC gaat snijden.
Dat is in het tweede plaatje gebeurd. Maar daar zie je dat er twee mogelijkheden voor punt C zijn.
Het derde en vierde plaatje geven twee driehoeken met een hoek gelijk en twee zijdes gelijk, maar die driehoeken zijn niet gelijk! Geval 4 klopt dus helemaal niet!

Er is n speciale situatie waarin geval 4 wl klopt, en dat is als die getekende cirkel maar n snijpunt C met AC heeft. Dat is zo als hij AC precies raakt, en dan is de hoek C een hoek van 90 (later zullen we daar meer van zien)
We veranderen daarom het vierde geval van ZZH naar ZZR. (zijde-zijde-rechte hoek).
   
SAMENGEVAT.
   
Hier is een tabel met de vier mogelijke gevallen van congruentie.
Bedenk dat dat 4 minimumeisen zijn, mr is natuurlijk altijd goed!
   
Twee driehoeken zijn congruent als ze gelijk hebben:
1.  twee zijden en de hoek ertussen (ZHZ).
2.  drie zijden (ZZZ).
3.  twee hoeken en een zijde  (HHZ).
4.  twee zijden en een rechte hoek (ZZR).
   
OPGAVEN
   
4. Zoek in onderstaande drie figuren steeds twee congruente driehoeken. Vergeet niet het bewijs van congruentie te vermelden.
       
 

       
 

M is middelpunt van beide cirkels.

Twee vierkanten op de zijden
van driehoek ABC.

M is middelpunt van beide cirkels.

       
 

MAE MDB  (ZHZ)

AGC ABD (ZHZ)

AMD BMC (ZHZ)

       
5. Hiernaast staan twee cirkels die beiden middelpunt M hebben.
De lijnstukken AB en CD worden zomaar ergens tussen beide cirkels getekend zodat ze even lang zijn.

Toon aan dat  ∠MBA = ∠MDC.

       
     

ZZZ

6. De hoogtelijn  van een driehoek is de lijn vanaf een hoekpunt loodrecht op de zijde er tegenover.
De  hoogtelijnen vanuit de tophoek van een gelijkbenige driehoek gaat precies door het midden van de zijde er tegenover.

Toon dat aan.
     

ZZR

       
7. Een koorde is een lijnstuk dat twee punten op de omtrek van een cirkel met elkaar verbindt.
Als je een lijn tekent vanaf het middelpunt loodrecht op een koorde dan deelt die lijn de koorde in twee gelijke delen.

Toon dat aan.

       
8. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2010.

Gegeven zijn twee evenwijdige lijnen k en m en een punt A ertussenin. Zie de figuur.

       
 

       
  In deze opgave bekijken we hoe je op elk van de twee gegeven lijnen een punt kunt tekenen zo dat deze punten samen met punt A de hoekpunten zijn van een geodriehoek. Een geodriehoek is een gelijkbenige rechthoekige driehoek. We bekijken de situatie waarbij de hoek waarvan A het hoekpunt is, recht is.
  Om te begrijpen hoe we die situatie kunnen tekenen, bekijken we de figuur hiernaast. Hierin is een geodriehoek PQR getekend, waarbij hoek P recht is en de punten Q en R respectievelijk op de (evenwijdige) lijnen k en m liggen. De loodlijn door P op k en m snijdt k in punt S en m in punt T.

Er geldt: driehoek PQS is congruent met driehoek RPT.

     
  a. Bewijs dit.
     
  b. Teken in de eerste figuur van deze opgave met behulp van wat hierboven  gezegd is een geodriehoek waarvan op elk van de lijnen k en m een hoekpunt ligt en waarvan A het hoekpunt van de rechte hoek is. Licht je werkwijze toe.
       
9. ABCD en AEFG zijn twee vierkanten met gemeenschappelijk hoekpunt A.

De middens van de vierkanten zijn de punten M en N

P is het midden van BG en Q is het midden van DE

De driehoeken ADG en ABE zijn congruent.

     
  a. Toon dat aan
     
  b. Toon aan dat MQNP een vierkant is.
       
10. Kangoeroewedstrijd.

Driehoek
ABC is gelijkzijdig met AB = BC = AC = 10.
De punten
M, N, P en Q liggen zodanig dat AM = BN = 4 en CP = BQ = 3.
(De tekening hiernaast is niet precies op schaal)

Hoe groot is hoek
NOQ

     

60

     

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)