h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Complexe Priemgetallen
Laten we eerst afspreken wat we met een geheel complex getal bedoelen.
De meest voor de hand liggende afspraak is de volgende:
a + bi  is een geheel getal als a en b gehele getallen zijn.
Voor een priemgetal houden we dezelfde afspraak als bij rele getallen:
Een priemgetal is een getal dat alleen door zichzelf en door 1 deelbaar is

Complexe priemgetallen heten trouwens ook wel Gauss-priemgetallen  (engels: "Gaussian Primes").
En daar komt meteen de eerste verrassing. Niet alle priemgetallen zoals wij die kennen zijn ook Gauss-priemgetallen.
Neem bijvoorbeeld 5.
(2 + i)(2 - i) = 4 - 2i + 2i + 1 = 5. Dus 5 is deelbaar door 2 + i en door 2 - i en is geen priemgetal!
Een methode om priemgetallen op te sporen is de zeef van Erathostenes. Die staat hier uitgelegd.

Het probleem is alleen dat er geen vaste volgorde van klein naar groot is bij de complexe getallen.
We definiren zelf: de grootte van a + bi is gelijk aan a2 + b2.
We bekijken verder alleen complexe getallen waarvan het rele deel groter is dan nul en waarvan de absolute waarde van het imaginaire deel kleiner of gelijk is aan het rele deel, de reden daarvoor volgt straks.


Het kleinste gehele complexe getal (1+ 0i doet niet mee) is dan  1 + of  1 - i
Omdat (1 + i)(1 - i) = 2 is 2 geen priemgetal.
De tussenstand is als hiernaast (rood is een priemgetal, kruis niet)
De volgende getallen zijn 2 + i  en   2 - (en eigenlijk ook 1 + 2i en 1 - 2i. Dat geeft het tabelletje hieronder:

1+i 1-i 2+i 2-i 1+2i 1-2i
1+i 2i          
1-i 2 -2i        
2+i 1+3i 3-i 3+4i      
2-i 3+i 1-3i 5 3-4i    
1+2i -1+3i 3+i 5i 4+3i -3+4i  
1-2i 3-i -1-3i 4-3i -5i 5 -3-4i
(2 + i) (2 - i) = 5 zoals we al eerder zagen, dus 5 is geen priemgetal. Andersom geeft (1 + 2i)(1 - 2i) precies hetzelfde resultaat. Dat is de reden dat we alleen getallen bekijken waarvoor het rele deel groter is dan het imaginaire. Eigenlijk komen onze nieuwe priemgetallen in setjes van 4: hier vinden we  (1 + 2i, 1 - 2i, 2 + i, 2 - i)
Omdat (2 + i)(1 - i) = 3 - i is dat ook geen priemgetal meer. En zo valt het hele setje  3 + i, 1 + 3i en  1 - 3i ook af; dat zie je in de tabel.

Daar vinden we een algemene regel:
a + bi  is gn priemgetal als  a en b beiden oneven zijn.

Dat komt omdat a + bi in dat geval deelbaar is door  1 + i, kijk maar:



En omdat a en b beiden oneven zijn, zijn a+b en b - a beiden deelbaar door 2, dus daar komt een geheel getal uit.

De getallen 2 + 2i, 3 + 3i, 4 + 4i, ... zijn overduidelijk ook geen priemgetallen. Die zijn allemaal alvast weggestreept in de grafiek rechts hierboven.
Het volgende priemgetal dat we tegenkomen is 3. En daarna 3 + 2i.
3 + 2i toevoegen aan de tabel geeft de volgende tabel met de bijbehorende figuur ernaast (denk eraan dat elk getal met een rode cirkel eigenlijk staat voor een setje van 4 priemgetallen):

1+i 1-i 2+i 2-i 1+2i 1-2i 3+2i 3-2i 2+3i 2-3i
1+i 2i                  
1-i 2 -2i                
2+i 1+3i 3-i 3+4i              
2-i 3+i 1-3i 5 3-4i            
1+2i -1+3i 3+i 5i 4+3i -3+4i          
1-2i 3-i -1-3i 4-3i -5i 5 -3-4i        
3+2i 1+5i 5-i 4+7i 8+i -1+8i 7-4i 5+12i      
3-2i 5+i 1-5i 8-i 4-7i 7+4i -1-8i 13 5-12i    
2+3i -1+5i 5+i 1+8i 7+4i -4+7i 8-i 13i 12+5i -5+12i  
2-3i 5-i -1-5i 7-4i 1-8i 8+i -4-7i 12-5i -13i 13 -5-12i
Onze rij priemgetallen wordt zo:

1 + i , 2 + i , 3 , 3 + 2i, 4 + i, 5 + 2i, 5 + 4i, 6 + 5i , 7,  7 + 2i,  8 + 3i, 8 + 5i, 9 + 4i, ....

Van de oorspronkelijke rele priemgetallen onder de 100 blijven nog over:

3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 83.