h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Complexe Functietheorie

We hebben al een paar voorbeelden van complexe functies gezien; namelijk hoe het complexe vlak op zichzelf wordt afgebeeld, en wat een aantal functies voorstelt (lineaire functies, machten, exponenten, ....eigenlijk al best veel!)
Het wordt nu tijd om wat interessantere eigenschappen van complexe functies te bekijken, en dat zijn natuurlijk de afgeleiden en de primitieven ervan.

Wat moeten we ons daarbij voorstellen?
Wat zijn de verschillen met rele afgeleiden en primitieven?
Wat zijn de overeenkomsten?

In het vervolg zal ik voor een complexe functie de notatie  f(z) gebruiken en voor een complex getal  z = x + iy   waarbij x en y dus rele getallen zijn.  Een complexe functie is dus  f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + i v(x, y)  waarbij u en v weer gewone rele functies zijn.

Bijvoorbeeld:     f(z) = ez = ex + iy = excosy + i exsiny  dus in dit geval is  u(x, y) = excosy  en  v(x, y) = exsiny
 

De afgeleide van een complexe functie.

Het zou natuurlijk het handigst zijn om de afgeleide van f(z)  precies zo te definiren als we ooit deden bij de afgeleide van een gewone  f(x), en dat zou dan z moeten:

       

       
En toch geeft dat direct al problemen.
De moeilijkheid zit hem in die Δz → 0.  Kijk; bij gewone rele getallen was dat  Δx → 0  en dat was nogal makkelijk te doen: je moest gewoon op de x-as oneindig dicht naartoe gaan. Dat kon maar aan twee kanten: je nam een andere x een hl klein beetje kleiner of een hl klein beetje groter dan x.  En als die afgeleide moest bestaan, dan eisten we dat die twee manieren hetzelfde opleverden.
Maar in het complexe z-vlak zijn er twee dimensies, en dat geeft ineens ontelbaar veel manieren om naar een bepaalde z toe te gaan. Kortom, de volgende vraag is heel terecht:
 
Ok, mij best;  "Δz  gaat naar 0" , maar ehh...... HOE?
       
We kiezen als antwoord op deze vraag voor de makkelijkste oplossing:  we stellen dat het niet mag uitmaken! Als dat wel zo is, dan bestaat f '(z) gewoon niet!  Maar als we dat eisen, dan geeft dat nu wel ineens voorwaarden waar  u(x, y) en 
v
(x, y)  aan moeten voldoen., en dat zijn de beroemde Cauchy-Riemann vergelijkingen. Ze zijn zelfs z beroemd dat ze meestal  CR-vergelijkingen worden genoemd.  Het zijn deze twee vergelijkingen:
       

       
Waarom is dat nodig?
       
Laten we van een functie  f(z) de afgeleide bij z = z0 = x0 + iy0 bekijken.  Noem verder  Δz = Δx + iΔy
Dan is  f '(z0) als volgt gedefinieerd:
       

       
Bedenk dat daar nog steeds niet staat HOE die Δx en Δy beiden tegelijk naar nul gaan. Daar zijn nog oneindig veel manieren voor.
Laten we eens twee van die manieren bekijken.

manier 1:  loop naar z0 toe evenwijdig aan de rele as. Dat betekent dat  Δy = 0  en Δz = Δx nadert naar nul.
manier 2:  loop naar z0 toe evenwijdig aan de imaginaire as. Dat betekent dat Δx = 0 en Δz = iΔy nadert naar nul.

manier 1 geeft:
 

 

 

 

       
manier 2 geeft:
 

 

 

 

       
Als de f '(z0) van de eerste manier gelijk moet zijn aan de f '(z0) van de tweede manier, dan moeten het rele deel en het imaginaire deel van die twee apart gelijk aan elkaar zijn. Dat geeft de gezochte Cauchy-Riemann vergelijkingen.
Bedenk goed dat dit noodzakelijke voorwaarden zijn, maar nog niet voldoende voorwaarden:  we hebben immers nog niet laten zien dat dan ook elke andere manier om Δz naar nul te laten gaan ook hetzelfde resultaat geeft!

Een functie f = u + iv  die voldoet aan de CR-vergelijkingen noemen we een analytische functie.

Misschien is het handig om eens een functie te bekijken die niet analytisch is, om te zien wat er dan "misgaat".
Neem de eenvoudige  f(z) = x - iy   dus  u(x, y) = x  en  v(x, y) = -y
Nu is  u/x = 1  en  v/y = -1  dus deze functie is nergens analytisch. En hij ziet er nog wel zo simpel uit!  En de bijna dezelfde functie  f(z) = x + iy  is wl overal analytisch!!!!

Hier zijn een paar eigenschappen die je snel kunnen helpen om te bepalen of een functie analytisch is of niet:
       
Elk polynoom van z is analytisch.
Een som of product van twee analytische functies is weer analytisch.
Een quotint van twee analytische functies is weer analytisch, behalve daar waar de noemer nul is.
Een analytische functie van een analytische functie is weer analytisch.
       

Dat betekent bijvoorbeeld dat ez  analytisch is, want die kun je schrijven als een reeksontwikkeling.
Dus is ook  z2ez  overal analytisch, en ook  ez/(z - 1) is overal analytisch behalve bij z = 1.
sinz is analytisch (reeksontwikkeling)  en ook  sin(ez)  want dat is een analytische functie van een analytische functie.
En ga zo maar door......

 

     
Gevolgen van de CR-vergelijkingen.

De CR-vergelijkingen hebben nogal belangrijke gevolgen in de natuurkunde. Die gevolgen zie je als je de tweede afgeleiden bekijkt. Hier zijn alle mogelijk tweede afgeleiden:
       

       

Dat zijn de vergelijkingen van Laplace die een belangrijke rol spelen in de natuurkunde, bijvoorbeeld op het gebied van  hydrodynamica, elektrostatisch en optica. Het feit dat het rele en het imaginaire deel van een complexe functie oplossingen zijn van deze Laplace-vergelijkingen maakt het mogelijk en zelfs makkelijk om complexe functies in deze gebieden van de natuurkunde te gebruiken.
       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)