h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Complexe Eigenwaarden.
       
Eerst maar even de stand tot nu toe bij stelsels differentiaalvergelijkingen:
       

matrixvorm:   A Y ' = Y
probeer  Y = Celx
λ1,2  is een eigenwaarde van A
C1,2 is een eigenvector van A
algemene oplossing:  Y = a C1eλ1x + b C2eλ2x 
a
en b uit de beginvoorwaarden

       
Die eigenwaarden λ1 en λ2 haalden we uit de karakteristieke vergelijking die bij matrix A hoort. Dat is een nde graads vergelijking, en die heeft in principe n oplossingen, dus dat geeft n eigenwaarden, n eigenvectoren en een algemene oplossing met n termen. Geen vuiltje aan de lucht.

Er zijn echter twee mogelijke problemen:
1. Als er λ's complex zijn, krijg je complexe oplossingen bij een rele vergelijking. Dat is lelijk! Kun  je niet rele oplossingen vinden?
2. Als er dezelfde  λ's vaker voorkomen (meerwaardig zijn) krijg je niet n verschillende oplossingen, maar je hebt er wel n nodig!
       
Deze les lossen we probleem 1 op  (dat is het eenvoudigste van de twee), de volgende les probleem 2.
Sterker nog:  de oplossing kan in n blokje:
       

eigenwaarden  λ = a bi
gebruik Euler:    e(a + bi)x = ea (cosbx + isinbx)
dan heb je twee rele oplossingen eacosbx  en  easinbx

       
Nou mooi.
Volgende les dan maar?

Nou vooruit, n voorbeeldje. Omdat het zulk leuk werk is......

Voorbeeld.   Geef de algemene oplossing van het stelsel   y1' =  y1 - 1/4y2    en    y2' = y1 + y2  
Karakteristieke vergelijking:   (1 - λ)(1 - λ) - 1 -1/4 = 0
λ2 - 2λ + 5/4 = 0  en dat geeft   λ = 1 1/2i 
Daarvan hebben we er maar n nodig, want dat geeft al twee oplossingen. Neem   λ = 1 + 1/2i .
Voor de kentallen a, b van de eigenvector geldt dan   a - 1/4b = (1 + 1/2i)a  en   a + b = (1 + 1/2i)b
De eerste geeft  b = -2ia  (en de tweede hebben we weer niet nodig, zoals je nog wel weet)
Zoals je ziet hebben we die cosinus en sinus ook in de vector gezet.
Nu nemen we van deze oplossing de delen met i bij elkaar en die zonder i ook:
Daar staan nu twee oplossingen, een complexe en een rele oplossing. De algemene oplossing is een willekeurige lineaire combinatie van beiden.
y1 = c1cos1/2x + c2sin1/2x
y
2 = 2c1sin1/2x - 2c2cos1/2x
       
Daarbij zullen c1 en c2  uit de beginvoorwaarden bepaald moeten worden.
       
Faseportret.

De differentiaalvergelijking was   
y
1' =  y1 - 1/4y2    en    y2' = y1 + y2    en dat geeft het faseportret hiernaast. 

Je ziet dat de krommen een soort spiraalvormen zijn die weglopen van de oorsprong. Bij complexe eigenwaarden krijg je vaak zulke draaiende vormen (spiralen, ellipsen, cirkels) en dat is natuurlijk niet zo raar, gezien het feit dat je cosinussen en sinussen krijgt als je een rele oplossing opschrijft.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)