Recursievergelijkingen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Zoals je je hopelijk nog herinnert is een recursievergelijking een recept van hoe je een getal uit een rij of reeks kunt berekenen met behulp van de vorige getallen. Als je dat niet meer weet moet je eerst deze les  weer bekijken. Daar zagen recursievergelijkingen er altijd uit als un =  ...... (en dan kwam er  iets met un -1).........
Dit in tegenstelling tot een directe formule: die gaf aan hoe je door alleen het nummer n in te vullen meteen de waarde van u(n) kon krijgen zonder ook alle vorige getallen uit de rij te hoeven berekenen.

Voorbeeld.
Neem de rij   5 - 10 - 20 - 40 - 80 - ....
Laten we de eerste term uit deze rij u0 noemen.
Een recursievergelijking bij deze rij is  u(n) = 2 • un - 1  met  u0 = 5
Een directe vergelijking bij deze rij is  un = 5 • 2n
Deze rij heet trouwens een meetkundige rij, misschien wist je dat nog...... 

Maar het wordt natuurlijk pas interessant als een getal uit de rij niet alleen afhangt van het vorige getal, maar van de TWEE vorige getallen!!! In zo'n geval heet dat een vergelijking van de TWEEDE ORDE. Het eerste wat je waarschijnlijk zal opvallen is, dat er dan ook TWEE beginwaarden nodig zijn. Immers met alleen  u0 kun je niets beginnen. Pas als je u0 en u1 hebt kun je u2, u3, enzovoorts gaan berekenen.

Omdat zo'n vergelijking gaat over het verschil tussen twee getallen uit een rij heet het in plaats van een recursievergelijking ook wel een differentievergelijking.

Laten we een eenvoudig geval bekijken: als het verband tussen de un en de twee vorigen lineair is. We hebben het dan dus over een Lineaire Differentievergelijking van de Tweede Orde:
 
un = a • un - 1 + b • un - 2
 

Met a en b twee constanten.
 
Omdat er twee beginwaarden nodig zijn, moet je even uitkijken hoe je zo'n rij in je GR invoert. Neem bijv. de rij  un = 2un -1 + 3un - 2  met u0 = 2 en  u1 = 1
Hiernaast zie je hoe je die moet invoeren.
Let vooral op  u(nMin):  daar voer je tussen accolades beide beginwaarden in, met een komma ertussen, eerst u1, dan u0.
Bij TABLE vind je dan de rij un:   2 - 1 - 8 - 19 - 62 - 181 - 548 - .....
Is er een directe formule te vinden?
Dat is niet zo eenvoudig.....
We gaan eerst zomaar eens een poging doen, alhoewel we weten dat die fout is, maar al doende komen we misschien op ideeλn/ontdekkingen. Onze eerste poging is een meetkundige rij:  Stel dat  un = B • gn
(We weten natuurlijk al wel dat deze formule niet kan kloppen, om twee redenen. De eerste is dat de rij hierboven geen meetkundige rij is. De tweede is, dat er voor zo'n meetkundige rij maar ιιn beginwaarde nodig is, terwijl we al zagen dat voor onze vergelijking twee beginwaarden nodig zijn).
Maar toch, stel dat  un = B • gn  een directe formule is....
Als we die dan invullen in de differentievergelijking dan moet het kloppen wat er staat:
 un = 2un -1 + 3un - 2 
⇒  B • gn = 2 • B • gn-1 +  3 • B • gn-2
B valt weg! Die doet er kennelijk niet toe voor het voldoen aan de vergelijking!!
⇒  gn = 2 • gn-1 +  3 • gn-2   (deel nu alles door gn)
⇒  1 = 2 • g-1 + 3 • g-2    (vermenigvuldig nu alles met g2)
⇒  g2 = 2g + 3
⇒  g2 - 2g - 3 = 0   ......deze vergelijking heet de karakteristieke vergelijking.
⇒  g = 3  of   g = -1

Ondanks dat we wisten dat we niet meteen de goede oplossing zouden vinden  vallen toch twee dingen op: 

 
1.  De waarde van B doet er niet toe.
  Dat is mooi; dan kunnen we die misschien straks handig kiezen om te voldoen aan de beginvoorwaarden.
2.  Er zijn twee mogelijke waarden voor g.
 
Om de laatste stap in de oplossing te maken gebruiken we de volgende stelling:
 
STELLING.

Neem de vergelijking  un = a • un - 1 + b • un - 2
Als  vn en  wn  allebei oplossingen zijn van deze vergelijking,
dan is de combinatie  vn + wn σσk een oplossing.
 
Kijk maar, een bewijsje van 3 regels:
vn + wn
= (a • vn-1 + b • vn-2) + (a • wn-1 + b • wn-2)
= a • vn-1 + a • wn -1  +  b • vn-2 + b • wn -2
= a • (vn-1 + wn-1) + b • (vn-2 + wn-2)     dus is vn + wn een oplossing.

Maar dat betekent dat vn + vn = 2vn  σσk een oplossing is.
En dan 2vn + vn = 3vn  σσk , en op dezelfde manier 4vn en 5vn en 8wn en 12wn en 4vn + 5wn  en ga zo maar door.
Elke lineaire combinatie van vn en wn is een oplossing. 

Nou, in de differentievergelijking hierboven hadden we al twee oplossingen gevonden,
namelijk  un = B • 3n  en ook  un = C • (-1)n
Dus is volgens de stelling ook  un = B • 3n  +  C • (-1)n  een oplossing.
En omdat we nu zowel B als C willekeurig kunnen kiezen kunnen we zorgen dat er aan beide beginvoorwaarden wordt voldaan!
n = 0  geeft dan   u0 = B + C = 2
n = 1  geeft dan   u1 = 3B - C = 1
Dit stelsel van twee vergelijkingen is makkelijk op te lossen en geeft  B =  3/4 en  C = 11/4
De volledige oplossing is dus  un =  3/4 • 3n  + 11/4 • (-1)n

Als je het niet vertrouwt, of als je wilt zien hoe mooi die wiskunde toch wel niet is, dan voer je deze formule bij Y=  in je GR in, en je ziet dat inderdaad de tabel met u-waarden die we al eerder vonden tevoorschijn komt.....

Samengevat:
 
•  vul un = gn in in de differentievergelijking.
•  dat geeft een karakteristieke vergelijking van de vorm g2 + bg + c = 0.
•  dat geeft twee mogelijke waarden g1 en g2 .
•  de algemene oplossing is  un = A • g1n + B • g2n .
•  A en B kun je bepalen door de twee beginwaarden in te vullen.
 
1. Geef een directe formule voor de volgende differentievergelijkingen:
           
  a. un =  6un-1 - 8un-2    met    u0 = 2 en  u1 = 3

un = 21/2 • 2n  - 1/2 • 4n
  b. un = 21/2un - 1 - un - 2   met   u0 = 1 en  u1 = 20

un = -12 • (1/2)n + 13 • 2n
  c. un = -9un-1 - 18un-2  met  u0 = -4 en  u1 = 3

un = -7 • (-3)n + 3 • (-6)n

  d. un = -4un -1 + 5un-2  met   u0 = 1 en  u1 = 0

un = 5/6  + 1/6 • (-5)n
           
2. De beroemdste rij van deze soort is zonder twijfel de rij van Fibonacci.
Die ziet er zσ uit:   1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - ...
           
  a. Geef een recursievergelijking van deze rij.  
  b. Geef een directe vergelijking van deze rij.  
           
3. Voor de alternerende rij  un =  2 - 4 - 2 - 4 - 2 - 4 - 2 - ..... kun je makkelijk u2009 berekenen....
als de eerste u0 is, dan komt daar 4 uit!
Je kunt het ook op een moeilijke manier doen.
Voor deze rij geldt de differentievergelijking  un = un-2  met  u0 = 2 en u1 = 4.
Maak met deze differentievergelijking een directe formule en laat zien dat die voor n = 2009 inderdaad  4 oplevert.
           
4. Beschouw de differentievergelijking  un = aun-1 + bun-2
Als a + b = 1  dan is  ιιn van de g-waarden ook gelijk aan 1.
           
  a. Toon aan dat dat inderdaad zo is.  
           
  In dat geval is de algemene oplossing te schrijven als  un = A + B • gn
           
  b. Toon aan dat dat inderdaad zo is.  
  c. Geef een differentievergelijking waarvan  un = 1 + 3 • 2n  een directe vergelijking is.
         
un = 3un-1 - 2un
met  u0 = 4 en u1 = 7
           
Wat kan er misgaan?
- ik word namelijk wat achterdochtig want tot nu toe heeft dit niets met complexe getallen te maken!-
Helaas kan er van alles misgaan.......
Vooral in de derde stap van de samenvatting hierboven:   "...dat geeft twee mogelijke waarden g1 en g2 ."
Puh! Alsof elke tweedegraads vergelijking altijd maar twee reλle oplossingen heeft! Helemaal niet! Als de discriminant negatief is, dan zijn er twee complexe oplossingen. Maar we willen natuurlijk wel graag een directe formule met alleen maar reλle getallen. Wie nooit van complexe getallen heeft gehoord zal voor zulke vergelijkingen geen oplossing kunnen vinden.
Als die bijvoorbeeld een directe formule moet maken voor 
 
un =  un-1 - 2un-2   met  u0 = u1 = 4
 

dan zal dat hem niet lukken.
Maar met behulp van complexe getallen is het toch mogelijk om een oplossing te vinden.
Zelfs een oplossing met reλle getallen!!!!!!!
Kijk, we weten al wel dat als een kwadratische vergelijking een complexe oplossing heeft, dan dan de tweede oplossing ook complex is, en gelijk is aan de geconjugeerde van de eerste oplossing.
Dus als we zouden vinden  g1 = r • eiφ  dan is  g2 = r • e-iφ .
Zonder even op de beginwaarden te letten vinden we dus dat  vn =  rn • eniφ   en  wn= rn • e-niφ   voldoen aan de differentievergelijking. Maar dan voldoet elke lineaire combinatie van deze twee oplossingen ook, immers de stelling zei dat je willekeurig vaak oplossingen bij elkaar mag optellen en dat dat allemaal wιιr oplossingen geeft.
Als je bijvoorbeeld v en w optelt dan vind je:

v + w
= rn • eniφ + rn • e-niφ  
= rn • (cos(nφ) + isin(nφ)) + rn • (cos(-nφ) + i • sin(-nφ))
= rn • (cos(nφ) + isin(nφ)) + rn • (cos(nφ) - i • sin(nφ))
= rn • {cos(nφ) + isin(nφ)) + cos(nφ) - i • sin(nφ)}
= rn • 2cos(nφ)

En dus is ook bijvoorbeeld  rn • cos(nφ) een oplossing.
Zie je wat er gebeurd is?
Zie je het!??
We hebben een oplossing gevonden zonder complexe getallen erin!
En op precies dezelfde manier kunnen we nσg wel een oplossing vinden door  w - v te berekenen. Dan zullen we tot de conclusie komen dat ook  rn • sin(nφ) een oplossing is (reken het zelf maar na, het is niet moeilijk).
 
Als de karakteristieke vergelijking de complexe oplossingen  g12 = r • e±iφ heeft,
Dan is de algemene oplossing te schrijven als  
un =  A • rn • cos(nφ) + B •   rn • sin(nφ)
 

Voorbeeld: 
Geef een directe vergelijking voor    un =  un-1 - 2un-2   met  u0 = u1 = 4
De karakteristieke vergelijking is  g2 - g + 2 = 0
Die heeft als oplossingen  g = 1/2 ± 1/2i√7  en dat is weer ongeveer gelijk aan  g = √2 • e± i• 1,21
De algemene oplossing is dan  un = A • (√2)n • cos(1,21n) + B • (√2)n • sin(1,21n)
n = 0 geeft   u0 = A = 4
n = 1 geeft dan  u1 =  4 • √2 • cos(1,21)  + B • √2 • sin(1,21) = 4
Daaruit volgt  B ≈ 1,51  en de directe vergelijking is bij benadering:  
un =  4(√2)n • cos(1,21n) + 1,51 • (√2)n • sin(1,21n)
WAAUW!  Dat was denk ik zonder complexe getallen niet gelukt!!!
 
Er kan nog wel meer misgaan, maar dat zou voor hier iets te ver voeren. Als je erg nieuwsgierig bent, dan moet je de verdieping hiernaast maar lezen.....
 
   

     

meer oplossingen Cardano

      
   
5. Geef een directe formule behorende bij de volgende differentievergelijkingen. Rond, indien nodig, de constanten in je vergelijking af op twee decimalen nauwkeurig.
     
  a. un = -4un-1 - 8un-2  met  u0 = 2 en u1 = -4.

un = 2(√8)n • cos(3/4πn)

  b. un =  2un-1 - 4un-2  met  u0 = 5 en  u1 = 8.

un = 2n • (5cos(1/3πn) + √3sin(1/3πn))
  c. un = 2un-1 - 6un-2  met  u0 = u1 = 1.

un = (√6)n • cos(1,15n)
     
6. Het kan gebeuren dat beide g-waarden uit de karakteristieke vergelijking geheel imaginair zijn.
Hoe ziet de differentievergelijking er in dat geval uit?
Hoe ziet de oplossing er in dat geval uit?
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)