ę h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Cilinderco÷rdinaten.
       
Eerst even een superkorte herhaling van poolco÷rdinaten, waant daar lijkt deze les nogal verdacht veel op.
Poolco÷rdinaten was een andere manier om de plaats van een punt in een vlak aan te geven. Niet zoals "gewoonlijk"  met een x-co÷rdinaat en een y-co÷rdinaat, maar met en r-co÷rdinaat  en een φ-co÷rdinaat, waarbij r de afstand tot de oorsprong is, en j de hoek met de positieve x-as. Dat ziet er zˇ uit:
       

       
Vooral als het ging om problemen met cirkelvormen erin dan was het vaak handig om poolco÷rdinaten te gebruiken in plaats van "gewone" (rechthoekige) co÷rdinaten. 
       
Wanneer het gaat om ruimteco÷rdinaten waarvan ÚÚn van de drie aanzichten ook cirkelvormen bevat, dan werken zogenaamde "cilinderco÷rdinaten" soms handiger dan rechthoekige co÷rdinaten.
Dat ziet er zˇ uit:
       

       
Daar in de bodem gebruiken we gewoon poolco÷rdinaten, alleen is er nu een z-co÷rdinaat aan toegevoegd om een derde dimensie te krijgen.
Ik hoop dat je direct ziet dat het verband tussen rechthoekige co÷rdinaten en cilinderco÷rdinaten is:
       

x = rcosφy = rsinφ  en   z = z

en andersom:
r2 = x2 + y2φ = arctan(y/x)  en  z = z
       
Die φ is een eikeltje:
Kijk wel goed uit of de arctan-functie wel de goede waarde van φ geeft). De standaard arctan-functie geeft namelijk altijd een waarde tussen -1/2π en 1/2π dus soms moet je er nog π bij optellen om de goede φ te krijgen! Maak een schets!
Verder kun je natuurlijk die φ nog kiezen plus of min een aantal keer 2π.

Cilinderco÷rdinaten werken vooral erg handig als het gaat om problemen met een as van symmetrie (die we dan uiteraard als z-as nemen).  Zo is de vergelijking van de cilindermantel in rechthoekige co÷rdinaten gelijk aan x2 + y2 = c2  maar in cilinderco÷rdinaten is die vergelijking veel eenvoudiger:  r = c,  that's all!!
       
En de dubbele kegelmantel hiernaast met als as de z-as heeft in  rechthoekige co÷rdinaten de vergelijking  x2 + y2 = z2 
Maar in cilinderco÷rdinaten is het gewoon  z = r
Een stuk makkelijker.

 

       
       
1. Verander de co÷rdinaten van de volgende punten van rechthoekige naar cilinderco÷rdinaten. Rond indien nodig de hoeken af op twee decimalen.
       
  a. A = (2, -4, 6)  
       
  b. B = (1, 1, 1)  
       
  c. C = (3, 4, -2)  
       
2. Verander de co÷rdinaten van de volgende punten van rechthoekige naar cilinderco÷rdinaten:
       
  a. A = (2, 2/3π, 1)  
       
  b. B = (1, 5/4π, 4)  
       
  c. C = (6, 1/2π, -6)  
       
3. Schets de vlakken met de gegeven vergelijking in cilinderco÷rdinaten:
       
  a. φ = 1/4π
       
  b. r = 5
       
  c. z = 9 - r2
       
Integralen met cilinderco÷rdinaten.
       
Als je vermoedt dat je een drievoudige integraal makkelijk met cilinderco÷rdinaten kunt oplossen  (omdat de figuur de z-as als symmetrieas heeft), integreer dan ÚÚrst over z. Dan houd je daarna nog het bovenaanzicht over, en dat is een integraal over r en j over, en die kun je net zo berekenen als we al met poolco÷rdinaten deden.
Denk om de Jacobiaan:   
dx Ľ dy = r Ľ dr Ľ dφ
       
Integreren met cilinderco÷rdinaten:
Ľ integreer ÚÚrst over z.
Ľ integreer dan het bovenaanzicht met poolco÷rdinaten:  dx Ľ dy = r Ľ dr Ľ dφ
       
Voorbeeld.
Bereken de integraal van de functie  f(x, y, z) = z Ľ (x2 + y2)
over het blauwe lichaam hiernaast.

z loopt van 0 tot 4

En nu houden we in het bovenaanzicht een integraal over voor r van 4 tot 6 en φ van 1/4π tot 1/2π  van de functie  8r2 :

Nou, zo werkt dat dus.....
       
       
4. Bereken de integraal van  f(x, y, z) = 2z 
over de gekleurde kegel hiernaast.

(de kegelmantel heeft zoals je in de figuur ziet vergelijking 
z
= (x2 + y2) en loopt van z = 0 tot z = 8)

 
       
     

ę h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)