h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De integraal van functies langs de hele x-as.
       
We bekijken deze les integralen van rele functies van -∞ naar +∞. Dus van deze vorm:
       

       
Nou gaan we ons wel beperken tot een bepaald soort functies f(x)  en dat zit hem in het volgende.
       
Als je deze functies f(z) in het complexe vlak. Dus gewoon x door z vervangen. Dan zijn de functies op de rele as gelijk.

Om de residustelling te kunnen gebruiken moeten we van de rele as (blauwe route hiernaast) een gesloten route C maken, en dat is het handigst via een halve cirkel, zoals hiernaast is aangegeven. De halve cirkel heeft straal oneindig, en dat doen we dan door een halve cirkel met straal r te nemen en vervolgens r naar oneindig te laten gaan.

Als nou die integraal langs de rode deel hiernaast naar nul toe gaat, dan houden we alleen de gezochte blauwe rele integraal over.

We zoeken daarom functies f(z) waarvoor de integraal langs het rode deel naar nul gaat.

       
Voor welke functies gaat die integraal naar nul als r oneindig wordt?
       
Je kunt je er niet makkelijk van afmaken door te zeggen "De integraal gaat naar nul als de functie naar nul gaat".  Waarom niet? Nou, die functie kan dan wel naar nul gaan, dus die stukjes die je bij elkaar optelt gaan naar nul, maar tegelijkertijd gaat de straal van die cirkel naar oneindig, dus  gaat het aantal stukjes naar oneindig!

Hoe moet het dan wel?
Dat heeft te maken met de regel van Darboux.
In de figuur hiernaast zie je (weet je nog:  kop-aan-staart?)  dat als je twee complexe getallen bij elkaar optelt, dat de modulus  (dat was de afstand tot de oorsprong) van de som dan nooit groter kan zijn dan de modulus van het ene getal plus de modulus van het andere getal.
In de figuur hiernaast:  Die rode lengte hiernaast  is nooit langer dan de blauwe plus de groene. (hoogstens precies even lang, namelijk als de blauwe en de groene in precies dezelfde richting liggen) 
Wiskundig genoteerd:   

   

|z1 + z2 |    |z1|  +  |z2|

       
(Dit is eigenlijk gewoon een variant van de driehoeksongelijkheid natuurlijk, dat had je vast al gezien).

Nou is een integraal natuurlijk niets anders dan een som van een heleboel complexe functiewaarden. En de uitkomst daarvan is gewoon weer een complex getal. Dus daarvoor geldt hetzelfde!  Dus:
       

       
Bij die laatste stap is gebruikt dat voor complexe getallen geldt  |z1 z2| = | z1| | z2| en dat kun je snel zien door z te schrijven als re

Stel nou dat de maximale waarde van f op de route C gelijk is aan  fmax.
Dan geldt:

Daarbij is L de totale lengte van de route C waarover de integraal loopt. Voor onze halve cirkel is dus L = πr
De integraal langs de halve cirkel  is dus kleiner of gelijk aan   fmax πr   en dat gaat naar nul zolang fmax maar sneller naar nul gaat dan 1/r .
Conclusie:

de integraal langs de halve cirkel gaat naar nul als f sneller naar nul gaat dan 1/z

       
We gaan ons dus beperken tot functies f(z) en  f(x) waarvoor dat laatste het geval is.

Voorbeeld.

Omdat  1/(1 + x)  sneller naar nul gaat dan 1/x gaat onze aanpak hier werken:  die integraal langs de halve cirkel door het complexe vlak gaat naar nul.
Bekijk daarom de kringintegraal van g(z) = 1/(1 + z) volgens de route hiernaast.
1 + z2 = (z - i)(z + i)  dus de functie heeft twee singulariteiten, waarvan alleen z = i zich binnen onze route bevindt.

De residustelling zegt dan:

En daarbij is  f(z) = 1/(z + i)
Dat geeft voor de integraal  2πi 1/(i + i) = π
       
(nawoordje:  misschien wist je ook wel dat de primitieve gelijk is aan arctanx  en dat arctan(∞) gelijk is aan 1/2π, en kun je zo ook wel op π uitkomen. Maar daar gaat het nu even niet om:  ook zonder die kennis van arctanx lukt het hier met een eenvoudige basisregel!)
       
Even functies.
Nou ja, als die f(x) een even functie is, dan kun je nu ook de integraal van 0 naar oneindig uitrekenen, want die is dan natuurlijk precies de helft van de integraal hierboven!!!...... Maar dat had je vast zelf ook al wel verzonnen.....
       
       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)