h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Integralen die afhangen van  cosφ  en sinφ.
       
Als je een integraal van 0 tot 2π moet uitrekenen waarvan de integrand alleen maar afhangt van sinφ en van cosφ, dan zul je vast zelf ook wel op het idee komen om die integraal te veranderen in een integraal rond de eenheidscirkel in het complexe vlak. Als namelijk φ als reel getal van 0 naar 2π loopt, dan draait z in het complexe vlak precies n rondje rond de eenheidscirkel. We bekijken in deze les dus dit soort integralen:
       

       
Als C een route langs de eenheidscirkel is, dan is  z = eiφ  en  z-1 = e-iφ
Dus dan is  cosφ = (z + z-1)/2   en  sinφ = (z - z-1)/(2i)
verder is  dz = ieiφ dφ  dus  dφ = -iz-1dz

Voorbeeld 1.  Bereken de volgende integraal:

       
met de substitutie z = eiφ  hierboven geeft dat het volgende:

Die integrand heeft twee singulariteiten:  eentje bij z = -1/3 en eentje bij z = -3.
Alleen de eerste ligt binnen de integratieroute (eenheidscirkel) dus als we nemen f(z) = 1/(z + 3)  dan geeft die integraal  de waarde  2πi f(-1/3)   = 2πi (1/(-1/3 + 3)) = 3/4πi
De hele integraal wordt dan   -i/0,3 3/4πi5/2π
       
Voorbeeld 2.  Bereken de volgende integraal (met  a > b):

Substitueer  z = eix  dus  dz = ieix dx  dus  dx = 1/iz dz   en  sinx = (eix - e-ix)/2i  =  (z - z-1)/2i   = (z - 1)/2iz
Dat geeft de volgende integraal:

De singuliere punten vind je als de noemer nul is:  z = 1/2 ( -2ia/b √(-4a/b + 4) )  = -ia/b i√((a/b)2 - 1)
Laten we die twee punten  z1 en z2 noemen,  z1 met het minteken en z2 met het plusteken.
De integratieroute C is de eenheidscirkel, en daar ligt alleen het singuliere punt  z1 binnen.

Bereken het residu van dat singuliere punt.
Omdat de integrand gelijk is aan   1/(z1 - z)(z2 - z)  is het residu van z = z1 gelijk aan  1/(z1 - z2)  =  1/2i√((a/b) - 1)
De integraal is gelijk aan  2πi 2/b 1/2i√((a/b) - 1)  = 2π/√(a - b)
Dat is een resultaat dat het waard is om in een blokje te zetten:
       

       
Opmerking.
Als de integrand een even functie is, dan kun je op deze manier ook de integraal van 0 tot π uitrekenen, want dan is die precies de helft van de integraal van 0 tot 2π.
       
       
  OPGAVEN
       
1. a.

       
  b.

       
       
     
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)