cumulatief binomiaal

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Cumulatieve binomiale verdeling.

Om van een binomiale verdeling een tabel te maken is intussen natuurlijk een makkie (Y1 = binompdf(n, p, X) en dan TABLE). Hiernaast is dat gebeurd voor n = 10 en p = 0,4. Maar er is een derde kolom aan de tabel toegevoegd......

Die tabel is gemaakt door bij elke k niet de kans op k successen te berekenen, maar de kans op k of minder successen. De rode 0,6331 in de laatste kolom is bijvoorbeeld gevonden door alle rode getallen in de tweede kolom bij elkaar op te tellen. Je zou het een "hoogstens" of "kleiner-of-gelijk" kolom kunnen noemen, maar het heet officieel een cumulatieve kolom.

Merk op dat bij het laatste getal in zo'n kolom altijd 1 staat, immers alle kansen uit de tweede kolom zijn samen 1.

n = 10, p = 0.4
k	P(k)	?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0,0060 0,0404 0,1209 0,2150 0,2508 0,2007 0,1114 0,0425 0,0106 0,0016 0,0001	0,0060 0,0464 0,1673 0,3823 0,6331 0,8338 0,9452 0,9877 0,9983 0,9999 1

Maar ehmm... het NUT?...

Laten we een aantal vragen over n = 10, p = 0.4 bekijken.
Bedenk elke keer dat P(k = ...) precies de kans op één aantal successen geeft, en P(k ≤ ...) alle kansen vanaf een aantal successen naar nul toe samen. Je zou het zó kunnen uitbeelden (de stippen stellen aantallen successen voor):

Als we P(k £ 5) eronder tekenen valt al meteen iets op:

Aan de onderste twee zie je eenvoudig dat je P(k = 6) ook uit binomiale tabellen makkelijk kunt vinden door uit te rekenen P(k ≤ 6) - P(k ≤ 5). Immers het verschil van de twee groene balkjes in de onderste twee rijen is precies dat groene blokje uit de bovenste rij.
Andersom is veel lastiger: als je de gewone tabel hebt (losse blokjes) is het veel meer werk om P(k £ 6) te berekenen; je moet dan de kansen van 0 tm 6 bij elkaar optellen.

Bij cumulatieve tabellen hoef je hoogstens twee getallen van elkaar af te trekken.
Hier zijn nog een paar voorbeelden:

P(k > 7) is de bovenste lijn. Maar als je je bedenkt dat alle stippen samen kans 1 hebben (100%; zoals op de tweede lijn) dan zie je ook meteen dat P(k > 7) = 1 - P(k ≤ 7). Zo heb je er wéér kleiner-of-gelijk van gemaakt.
Nog eentje?

Hier is te zien dat P(3 ≤ k < 8) = P(k ≤ 7) - P(k ≤ 2)
En zo kunnen we nog wel even doorgaan.

Maak van de volgende kansen steeds "kleiner-of-gelijk" kansen.

P(k < 8)

P(k ≤ 7)

P(4 < k < 14)

P(k ≤ 13)- P(k≤4

P(k > 2)

1- P(k ≤ 2)

P(k = 0)

P(k ≤ 0)

P(k = 12)

P(k≤13)-P(k≤12)

P(k ≥ 13)

1- P(k ≤ 12)

P(k ≥ 35)

1- P(k ≤ 34)

P(5 ≤ k < 15)

P(k≤14)-P(k≤4)

Maak van de volgende Nederlandse tekst steeds "kleiner-of-gelijk" kansen.

P(minder dan 5 successen)

P(11 successen)

k ≤ 4

k ≤ 11 - k≤ 10

P(hoogstens 12 successen)

P(niet meer dan 20 successen)

k ≤ 12

k ≤ 20

P(meer dan 9 successen)

P(13 of 14 successen)

1 - k ≤ 9

k ≤14 - k ≤12

P(minstens 3 successen)

P(minder dan 12 maar meer dan 4 successen)

1 - k ≤ 2

k ≤ 11 - k ≤ 4

Natuurlijk zit ook deze functie op je TI-83.
Misschien had je het al wel geraden: DISTR - binomcdf (n, p, k)
En natuurlijk kun je ook hier weer bij Y1 = zo'n formule invoeren met een X erin voor een onbekende n of p of k, net zoals we al bij binompdf hebben gedaan.
Kortom: onbegrensde mogelijkheden!!!!

Yorick kan in negen van de tien gevallen van Duits bier het merk vertellen, daarom gaat hij maar eens solliciteren bij slijterij Mitra. Als test krijgt hij 20 keer geblinddoekt een glas Duits bier voorgezet. Als hij minstens 16 keer het juiste merk noemt dan krijgt een baantje.
Bereken de kans dat hij inderdaad een baantje krijgt.

0,9568

Bij de Europese roulette zijn de sectoren van de schijf verdeeld in 18 rode, 18 witte en 1 groene sector.

Bereken de kans dat in tien ronden het balletje minstens vier keer op rood komt.

0,8051

Bereken de kans dat het balletje in 70 ronden minder dan 3 keer op groen komt.

0,1380

Het eerstejaars tentamen statistiek voor psychologiestudenten is elk jaar weer een slachting. Het blijkt dat de kans dat een student het haalt gelijk is aan 0,08.
In een jaar doen 120 studenten het tentamen. Hoe groot is de kans dat het aantal dat het haalt groter is dan 10 maar kleiner dan 20?

0,3635

Een basketbalspeler heeft bij een vrije worp kans 40% dat hij raak gooit en kans 60% dat hij mist. Als hij scoort krijgt hij 1 punt.

Hoe groot is de kans dat hij in 20 worpen meer dan 12 punten scoort?

0,3635

Hoeveel worpen moet hij nemen zodat de kans op meer dan 8 punten minstens 90% is?

Een andere speler neemt een aantal vrije worpen en weet dat voor zijn punten het histogram hiernaast geldt. Bij drie staven zijn de kansen (afgerond in procenten) gegeven.
Bereken de kansen op de overige drie staven in één decimaal nauwkeurig.

11.6, 4.9, 0,5

Er komt weer een barre winter aan in Siberië. De inwoners van het plaatsje Udzha bereiden zich alvast voor op weer extra veel doden. Omdat de grond gaat bevriezen besluiten ze alvast van tevoren genoeg graven te graven.
In Udzha wonen 3000 mensen en men gaat er van uit dat de kans dat iemand de winter niet overleeft gelijk is aan 1%.
Hoeveel graven moet men graven zodat de kans dat er niet genoeg graven zullen zijn minder is dan 4%?

Je moet een toets met een aantal driekeuze-vragen gaan maken. Je hebt het echter niet zo goed geleerd en weet dat de kans dat je een vraag goed beantwoordt gelijk is aan 48%.
Je krijgt een voldoende als je méér dan de helft van de vragen goed hebt.
De leraar zegt dat je een even aantal vragen krijgt, maar je mag zelf kiezen hoeveel.

Voor hoeveel vragen moet je kiezen om de kans op een voldoende zo groot mogelijk te maken?

12 of 13

Veel studenten verdienen iets bij door het houden van telefonische enquêtes. Dat is niet zo'n dankbaar werk, want voordat je een enquête krijgt ingevuld moet op de eerste plaats de telefoon worden opgenomen, en op de tweede plaats moet degene die opneemt ook nog mee willen werken. Dat eerste valt nog wel mee: het blijkt dat 86% van de mensen de telefoon opneemt. Maar van degenen die de telefoon opnemen is echter slechts 18% bereid mee te werken aan een enquête.

Hoe groot is de kans dat er bij 12 telefoontjes minstens zeven keer wordt opgenomen?

0,9819

Hoeveel telefoontjes zal een medewerker gemiddeld moeten plegen om 250 enquêtes te krijgen ingevuld?

1615

Hoe groot is de kans dat van 20 telefoontjes slechts 15 mensen opnemen waarvan er slechts 2 willen meedoen?

0,0224

10.

Joop staat in een rooster op punt (0,0)
Hij gaat wandelen over de roosterlijnen. Elke keer als hij bij een kruising komt gooit hij een dobbelsteen. Bij 1 of 2 gaat hij omhoog (Noord) en bij 3, 4, 5 of 6 gaat hij naar rechts (Oost).

Jaap staat in punt (4,6).

Bereken de kans dat Joop bij Jaap komt.

0,057

Joep staat in punt (9,1)
Bereken de kans dat Joop tussen Jaap en Joep doorgaat.

0,8194