© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

OK, je hebt erom gevraagd.....
       
We waren gebleven bij   y' = c(1 + y2
De rechterkant primitiveren cx + d   (met d één of andere constante)
Blijft over het probleem om de linkerkant te primitiveren.......
       
Als je zo'n vorm van 1 + y2  ziet staan is het vaak handig om de substitutie  y = tanp  te gebruiken.
Immers de afgeleide van tanp  is tan2p + 1 en dat is dan dus y2 + 1.
Voer de substitutie daarom maar uit:  y = tanp en  dy = (y2 + 1)dp  geeft het volgende: (ik laat in de tussenstap y nog even staan)
 
Die laatste kunnen we handig veranderen:
 
Nog maar even doorveranderen, het is zulk leuk werk...
 
Nu is die cosp daar in de teller net de afgeleide van sinp in de noemer. Daarom gaan we substitueren u = sinp
Dan is namelijk  du = cospdp  en dat is precies wat er in de teller staat.
       
Bij de derde stap is de techniek van "breuksplitsen" gebruikt. Hoe dat werkt staat in deze les.
Het geeft ook de extra factor 1/2   (reken dat zelf maar na).
Nou, dan is het eindelijk zover:  daar helemaal rechts staan nu twee integralen die we kunnen oplossen. De primitieve van 1/x is immers lnx. Denk nog wel even om de kettingregel bij de eerste; dat geeft een extra minteken.
 
       
Bij de laatste stap is uiteraard gebruikt dat 1/2lnx = lnx, maar dat zag je hopelijk al wel.
Zo. Tijd om van u af te stappen en terug te gaan naar p:
       
       
En daarna weer van p naar y.  Daarvoor moet je eerst weer van die  1/cosp  ook een tanp maken. Dat gaat zo:  
       
       
En daarmee is dan eindelijk die integraal van helemaal aan het begin van deze les gevonden:
       
       
Eerst even iets over die constante d. Ik hoop dat je je nog herinnert dat onze y de helling van de kettingkromme was.
Als we ervoor kiezen een ketting op te hangen met symmetrieas de y-as dan ligt het minimum bij x = 0. Dus moet de helling bij x = 0 gelijk zijn aan 0.  Ofwel:  als x = 0 moet ook y = 0
Invullen in bovenstaande vergelijking geeft dat d = 0 gekozen moet worden.

Tot slot er  nog even y = ... van maken. Dat kan met een leuke eigenschap van  y + (y2 + 1):
       
       
ln(y + (y2 + 1)) = cx  geeft dan   y + (y2 + 1) = ecx 
maar dan is   (y2 + 1) - y = e-cx  (met die leuke eigenschap van net)
Als je die twee van elkaar aftrekt dan hou je 2y over:   2y = ecx - e-cx
Hè Hè, we zijn er:

y = 1/2(ecx - e-cx)

       
Heb jij er ook zo'n voldaan gevoel over?
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)