h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1.  Meetkundige Onmogelijkheid.

Volgens Descartes betekent de wortel van een negatief getal het feit dat een constructie meetkundig onmogelijk is.
Hij was zo rond 1650 bezig om kwadratische vergelijkingen meetkundig op te lossen  (De volgende voorbeelden komen uit zijn boek  "La Geometrie").

Descartes begon met de vergelijking  x2 = bx + c2 waarin b en c2 beiden positief zijn. In de tekening hieronder zijn b en c als lengtes van twee lijnstukken getekend.
       

       
De cirkel heeft diameter b  en  PQ = c.   M is het middelpunt van de cirkel, en  QM snijdt de cirkel ook nog in R
QM2 = (0,5b)2 + c2    dus  QM = (1/4b2  + c2)
QR = QM + 1/2b
Dat geeft  QR = 1/2b + (1/4b2 + c2)   en dat is precies de positieve oplossing van de vergelijking  x2 = bx + c2 

Daarna ging Descartes aan de slag met de vergelijking  x2 = bx - c2   en nu zijn er dus complexe oplossingen mogelijk.
De algemene oplossingen zijn nu   x = 1/2b  (1/4b2 - c2)  en het wordt natuurlijk interessant als  c2 > 1/4b2 

Descartes maakte gewoon net zo'n soort tekening als hierboven, maar hij liet de lengte van c wat variren om te kijken wat er nou precies gebeurt. 
       

       
In het eerste geval (c klein) snijdt de lijn door Q loodrecht op PQ de cirkel in twee punten R en S. Zie de linkerfiguur.
De lengtes QS en QR zijn precies de twee oplossingen van de vergelijking

Kijk maar hiernaast:  in driehoek MTS geldt  (1/2b - x)2 + c2 = (1/2b)2 
Dat geeft   1/4b2 - bx + x2 + c2 = 1/4b2
En dat is hetzelfde als  x2 = bx - c2  dus x is inderdaad een oplossing van de vergelijking. 
Op dezelfde manier kun je laten zien dat dat ook geldt voor QR.

In de tweede figuur geldt precies c2 = (1/2b)2  en is er inderdaad ook maar n oplossing QR.

In de derde figuur is c te groot geworden om nog snijpunten  met de cirkel te geven. Descartes concludeerde dat negatieve wortels aanleiding geven tot onmogelijke meetkundige constructies.

       
2.  Fysische betekenis.
       
Maar waar wiskundigen vaak wat star en onbuigzaam zijn, zijn natuurkundigen soms verrassend creatief. Die weten vaak toch wel iets te verzinnen dat betekenis heeft.  Zo ook hier.
Neem een jongetje dat met topsnelheid v loopt en probeert een bus te halen.  De bus begint op te trekken met versnelling a op het moment dat het jongetje nog d meter van de bus af is.

Kan het jongetje de bus nog aanraken?
       

       
Noem de achterkant van de bus  x = 0 op tijdstip t = 0
Voor de plaats van de achterkant van de bus geldt dan   x = 1/2at2
Voor de plaats van het jongetje geldt  x = -d + vt
Het tijdstip T waarop het jongetje de bus kan aanraken voldoet aan  1/2aT2 = -d + vT
Dat is een kwadratische vergelijking voor T, met als oplossingen:   T =  v/a  ((v/a)2 - 2d/a)

Je raadt het al:  als  d > 0,5v/a   dan is T een complex getal, en dat betekent dat het jongetje de bus niet kan aanraken.
"Zie je wel? Onmogelijk" , hoor ik Descartes al zeggen.  Maar het feit dat het jongetje de bus niet kan aanraken wil niet zeggen dat die complexe tijd T geen betekenis heeft......

Noem D de afstand tussen  het jongetje en de bus.  Dan is  D = 1/2at2 - vt + en het jongetje raakt de bus als D = 0
Dat gaat weer niet lukken als   d > 0,5v/a  , maar je kunt je dan wel de logische en voor de hand liggende vraag stellen:  "Wanneer is het jongetje het dichtst bij de bus?"
Dat is zo als  D'  minimaal is, en dat is bij    t = v/a   en dat is precies het rele deel van die complexe T.
Zo stelt T toch nog wat voor:
Het rele deel van T bepaalt op welk moment de afstand tot de bus minimaal is.
Het complexe deel van T bepaalt of de bus wordt gehaald of niet.  Hoe groter dat complexe deel, des te "slechter" wordt de bus gehaald. Er geldt  Im(T) = √(2D/a) waarbij D de minimale afstand tot de bus is.
       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)