© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Alle remmen los......
       
1. Paashaas met problemen.

Het inpakken van alle eitjes blijkt voor de paashaas een enorm karwei.  Daarom besluit hij te gaan automatiseren. Hij gaat een inpakmachine kopen. Hij vraagt bij de machinefabriek een offerte aan, en het blijkt dat de fabriek maar liefst 7 modellen kan leveren. Het verschil in prijs zit hem vooral in de nauwkeurigheid van inpakken.
De paashaas pakt de eieren in in doosjes waar ideaal gesproken 200 gram in zit, maar het gewicht dat de machine afweegt blijkt normaal verdeeld. De offerte levert deze tabel:
       
 
machine prijs p standaarddeviatie σ
in gram
A
B
C
D
E
F
G		 € 15000
€ 6229
€ 4948
€ 4139
€ 3577
€ 2842
€ 2377		 1,0
3,0
4,0
5,0
6,0
8,0
10,0
       
  Neem aan dat de gegeven standaarddeviaties onafhankelijk zijn van het gemiddelde gewicht.
De volgende formule is van toepassing op deze tabel:   p (σ) = 15000 • σ-0,8 
       
  a. Zet deze gegevens uit op dubbellogaritmisch papier en toon daarmee aan dat p inderdaad evenredig is met σ-0,8
       
  De keuringsdienst van Waren eist dat slechts 10% van de doosjes met eitjes minder dan het aangegeven gewicht mag bevatten. Daaruit volgt dat voor het gewicht (G in gram) waarop de machine moet worden afgesteld bij benadering de volgende formule geldt:  G = 200 + 1,3σ.
       
  b. Toon deze formule aan.  
       
  De paashaas verwacht met zijn machine 1.000.000 dozen te kunnen vullen. Neem aan dat de kosten van een doos alleen bestaan uit inpakkosten (afschrijving van de machine) en materiaalkosten (kosten van de eitjes zelf).
De kosten van de eitjes zijn  €1,50 per kg.

Voor de totale kosten over 1.000.000 dozen geldt dan:   K = 300000 + 15000σ -0,8 + 1950σ
       
  c. Toon deze formule aan.  
       
  d. Bereken algebraïsch voor welke standaarddeviatie de totale kosten minimaal zullen zijn, dus welke machine de paashaas het best kan aanschaffen.
       
2.

Leraar in nood!

De eindexamenklas van een middelbare school besluit op de laatste schooldag gezellig met 'n allen te gaan wadlopen. Het wordt een mooie tocht van zo'n 2 uur die zonder incidenten verloopt. Echter bij aankomst om precies 19:05 uur blijkt tot ieders verbazing de wiskundeleraar te ontbreken. De man is achterop geraakt en vast komen te zitten in de zuigende modder.

Uiteraard kent de leraar de getijdenkrommen ter plekke uit zijn hoofd, en hij weet dat voor deze plaats op deze datum geldt:
 

h(t) = 2 + 2sin1/2(t - 8)
       
  Daarbij is t de tijd in uren met t = 0 op 00:00 vandaag, en h de waterhoogte op de plaats waar de man vastzit in meter. De leraar is 1,90 meter lang en zijn mond bevindt zich op hoogte 1,77 m boven de modder.
       
  a. Bereken algebraïsch tot hoe laat de man adem zal kunnen halen.
     

20:20:09
  b. Hoe snel stijgt het water op dit moment? Geef je antwoord in cm/min.
     

1,2 cm/min
  De situatie is als hiernaast.
De gids van de tocht besluit tot een reddingsactie. Hij gaat zo snel mogelijk naar de leraar lopen. Over het land loopt hij met 12 kn/uur, en door de modder slechts met 6 km/uur. Hij besluit te lopen zoals hiernaast geschetst.
De gids besluit om x km over land langs het water te lopen en daarna rechtstreeks door de modder naar de leraar.

Voor de totale tijd die hij daarvoor nodig heeft geldt:

T =  1/12x + 1/6√(x2 - 16x + 80)

     
  c. Toon aan dat deze formule geldt.
       
  d. Bereken algebraïsch voor welke x de totale reistijd minimaal is.
     

5,69 km
  e. Hoelang mag de gids over vraag c) en d) doen als de leraar dit moet overleven?
       
3. Een vloeistof wordt bewaard in een vat. Na het gebruik is het vat nooit helemaal leeg. Om het weer te kunnen gebruiken moet het worden schoongespoeld. Zie de figuur hiernaast.
Via een pijp linksonder wordt spoelmiddel in het vat gepompt. Het restant vloeistof vermengd zich met het spoelmiddel.
Na een tijdje is het vat vol, en stroomt aan de bovenkant het mengsel van spoelmiddel en vloeistof er uit.

Het vat hiernaast heeft een inhoud van 400 liter. In het gein zit er nog 0,8 liter vloeistof in, met daarin 20000 mg van een chemische stof. Het spoelmiddel wordt met 25 liter per minuut het vat ingepompt.
De concentratie C is de hoeveelheid chemische stof per liter vloeistof. Tijdens het vollopen van het vat geldt de volgende formule (daarin is t de tijd in minuten):

       
   

 
       
  a. Leg uit waarom deze formule juist is.
       
  b. Bereken algebraïsch wanneer de concentratie gelijk zal zijn aan 60 mg/liter
     

13,3 min.
  c. Welke horizontale asymptoot heeft de grafiek van C? Wat stelt dit in praktijk voor?
       
  Als het vat vol is blijft er evenveel onder instromen als boven uitstromen. De concentratie van de stof neemt nu exponentieel af.
In de volgende tabel zie je de concentratie C voor enkele waarden van t
       
 
t (minuten) 16 20 24 28
C (mg/liter) 50,00 38,94 30,32 23,61
       
  d. Bereken de groeifactor van dit exponentiële proces.
Vergelijk deze gevonden groeifactor met de factor die je zou krijgen als je aan zou nemen dat alle vloeistof zich steeds direct geheel gelijkmatig over alle spoelmiddel verdeelt.
       
4. Hiernaast zie je een sneeuwpop die ondersteund wordt door een gelijkzijdige driehoek, zodat hij niet omvalt.

Als we de oorsprong midden onder kiezen, zoals in de figuur aangegeven,  dan is de sneeuwpop wiskundig voor te stellen als twee cirkels met vergelijkingen :
x2 + (y - 30)2 = 900  en   x2 + (y - 75)2 = 225

De driehoek is zó onder de sneeuwpop geschoven dat de zijde ervan de cirkel raakt.
Het raakpunt is het punt  R = (15√3, 15)

 
  a. Toon aan dat de driehoek de cirkel inderdaad raakt in punt R.
 
  De top van de driehoek ligt precies op de hoogte van het middelpunt van de onderste cirkel.
Dan is het zwaartepunt van de driehoek  ZD = (20√3, 10)
       
  b. Toon dat aan.
       
  c. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de plaats het zwaartepunt van de beide cirkels en de driehoek samen, als je ervan uitgaat dat ze een even grote dichtheid hebben
       
  Er zijn twee lijnen te tekenen die beide cirkels raken, en de x-as snijden.
       
  d. Geef vergelijkingen van die lijnen.
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)