De afgeleide.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
De afgeleide functie f ' geeft aan hoe groot de helling van een functie is. Ik neem aan dat je dit al weet want waarom zou je er anders in geïnteresseerd zijn hoe je die afgeleide met de GR kunt berekenen? Daar gaat deze les namelijk over.

Er zijn eigenlijk twee manieren om de afgeleide te vinden. Vooruit, ik zal ze beiden langslopen.
Het verschil tussen beide methodes zit hem erin of het punt waar je de helling zoekt al bekend is of nog niet.

1.  De afgeleide in een bekend punt.

Als je maar in één punt met gegeven x-coördinaat de helling van een grafiek wilt weten, dan kan dat eenvoudig zó:
•  Voer de functie in bij Y1 =  en zorg dat de grafiek in beeld is (in ieder geval bij dat speciale punt)
•  Gebruik  2nd CALC - 6: dy/dx - ENTER
•  Toets vervolgens de x-coördinaat van het punt in, dan verschijnt onder in beeld X = .....
•  Druk weer op ENTER en je krijgt onder in beeld de gezochte helling.

Voorbeeld:  Bereken de helling van  y = √(2x - 6)  bij x = 8
Dat gaat dan dus zó:
 

       
Die helling is dus 0,31622777...
       
2.  De afgeleide bij een nog onbekend punt.

Je moet daarbij denken aan vragen als: 
       "Gegeven f(x) = .....,   in welk punt is de afgeleide gelijk aan 3?"
       "Gegeven g(x) = ....,   in welk punt is de helling maximaal?"

Die vragen zijn wat lastiger, en de eerste methode werkt niet (je kunt moeilijk allemaal x-en gaan "proberen" tot je de juiste vindt).
Gelukkig is er op de TI-83 een manier om de afgeleide f '  te plotten. Als dat gelukt is kun je de twee vragen hierboven eenvoudig beantwoorden (de eerste met CALC - intersect en de tweede met CALC-maximum, maar dan gewoon beiden met de f ' in plaats van de f ).
Dat plotten van f '  gaat zó:
 
  •  Voer de functie f  in bij Y1.
•  Voer in  Y2 = nDeriv(Y1, X, X).    (gebruik de dikke komma naast x2)
    nDerive vind je bij   MATH - 8: nDeriv(
    Y1 vind je bij  VARS - Y-VARS - 1:Function - Y1
•  In Y2 staat nu de grafiek van de afgeleide f ' .
    (je kunt nu het best Y1 weer uitzetten door op het = teken van Y1= te gaan staan en op ENTER te drukken).
       
Met die afgeleide kun je daarna alle "bekende" knoppen zoals intersect, maximum en zo gebruiken.
       
Voorbeeld:  Gegeven is de functie f(x) = x3 - 4x2.  In welk punt heeft de grafiek van  f  helling 35?
Dat gaat zó:
       

       
Dat geeft dan de punten  (5, 25) en (-21/3, -34,48)
       
Voorbeeld:  Gegeven is de functie  f(x) = x • 0,5x. In welk punt van de grafiek van  f  is de helling minimaal?
Dat gaat dan natuurlijk zó:
       

       
x ≈ 2,8853952  geeft dan  y ≈ -0,1353353  dus dat is ongeveer het punt  (2.89, -0.14)
       
         
  OPGAVEN
         
1. a. Bereken de helling van de grafiek van  y = 2x/(4x + 18) in het punt waar x = 5.
       

0,0249
  b. Bereken de helling van de grafiek van  y = √(4x3 - 5x) in het punt waar x = 2.
       

4,584
  c. Bereken de helling van de grafiek van  y = 3(4 - √x)  in het punt waar x = 6.
       

-1,232
         
2. De lijn y = -10x + b raakt de grafiek van  y = 2x√x - 2x2  + 8.
Bereken b.
       

b = 32
         
3. Voor welke x hebben de grafieken van  y = 1/(4x2 + 1)  en  y = 4•1,8x - 3x  dezelfde helling?
       

x = 0,071
         
4.
  Bereken de maximale helling van de grafiek van f
       

12,77
         
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)