Tuurlijk!  Dat was 'm!! 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
En als je hetzelfde voor cosx  zou doen dan vind je dat de afgeleide gelijk is aan -sinx
Conclusie:

f(x) = sinx   ⇒   f '(x) = cosx
f(x) = cosx   ⇒   f '(x) = -sinx
Denk goed om dat minteken!
Dit was natuurlijk nogal een beetje een gokwerk, en absoluut geen bewijs.
Meer een beetje "aannemelijkmakerij"............
Wil je beter weten hoe het nou precies zit, dan kun je dat vinden bij één van de twee bewijzen hiernaast.
 

Denk om de kettingregel!
Als er niet x staat maar een "blokje" dan gebruik je uiteraard de kettingregel, toch?

Voorbeeld:  f(x) =  sin(2x + 3)   dan is  f '(x) = cos(2x + 3) • 2
Daarbij is die laatste 2 afkomstig van de kettingregel.

Voorbeeld:  f(x) = 1/sinx = (sinx)-1   dan is  f '(x) =  -(sinx)-2 • cosx = -cosx/sin²x
Notatie van kwadraten.
Denk erom:

sin2x  =  (sinx)2
sinx2 = sin(x2)
En dat heeft dan natuurlijk gevolgen voor de afgeleide:
   
  OPGAVEN
1. Geef de afgeleide van de volgende functies:
a. f(x) = cos(3x) e.  y = 5 - 2cos(2px - 3)
b. y = 2sinx + cos(x2) f.  f(x) = sin2(x) 
c. f(x) =  sin(x + 3) - 2cos(5 - x) g.  y = 2 - sin(x2 + 3)
d. f(x) =  √(cosx) h.  y = 4cosx • sinx
2. Omdat tanx = sinx/cosx  kun je nu ook de afgeleide van tanx berekenen.
Doe dat en laat zien dat geldt:
3. Gegeven zijn met domein [0, π] de functies  f(x) = √(6sinx)  en  g(x) = -2cosx
a. Los algebraïsch op  f(x) = g(x)
   

1/6π, 5/6π
b. Onderzoek of de grafieken van f en g elkaar loodrecht snijden.
4. Gegeven is op interval [0, 2π] de functie:
Bereken algebraïsch de coördinaten van de toppen van de grafiek van f
       
5.

Toon dat aan.
     
6.
  Het domein is [0, 2π]  
     
  a. Bereken algebraïsch de coördinaten van de extremen van de grafiek van f
     

(1/2π, 1/2)
  b.  f(x) = 1/6.
     

1/6π, 5/6π, 3.48, 5.94
  c. Voor welke  p raken de grafieken van f en  g(x) =  p - 3sinx  elkaar?
     

31/2 en  -1
       
7.
  Toon aan dat de grafiek van fa voor geen enkele a een nulpunt én een extreme waarde kan hebben.
       
8. Gegeven is de functie  f(x) = cos 2x - sinx + 1  met domein  [0,2π]
       
  a. Voor welke p heeft de lijn  y = p  precies 4 snijpunten met de grafiek van f(x)?
     

〈1 , 2.125〉
  b. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van f  in het punt waarvoor  x = π
     

y = x + 2 - π

 
9. Gegeven is de functie  f(x) = 2·cos x + sin 2x + 1  met domein [0,2π]

     
  a. Bereken de coördinaten van het maximum en van het minimum van de grafiek van f.
   

(0.52, 3.60)(2.62, -1.60)

  b. Er is nog een punt van de grafiek met horizontale raaklijn, Geef de coördinaten van dat punt.
 

(11/2π, 1)

 
       
10. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2011.

Een gemeente wil in een park een brug over een vijver aanleggen.
De brug moet:
  1. minstens 8,00 meter overspannen (de breedte van de vijver),
  2. maximaal een helling 1/15 hebben (voor mensen in een rolstoel).
       
  In de figuur hieronder staat een schets van een zijaanzicht van de situatie, waarbij de punten waarin de brug horizontaal aansluit op beide oevers steeds A en B genoemd worden. De tekening is niet op schaal.
       
 

       
  In dit zijaanzicht kiezen we een assenstelsel waarin de x-as op de hoogte van beide oevers ligt en de y-as door het hoogste punt van de brug gaat.
We kiezen zowel op de x-as als op de y-as de meter als eenheid. Het zijaanzicht kan nu door een vergelijking in x en y beschreven worden.
 
  zou, bij geschikte keuze van p, aan beide voorwaarden hierboven kunnen voldoen.
       
  a. Bepaal voor welke waarden van p aan eis 1 is voldaan.
     

p  ≥ 8

  b. Bepaal voor welke waarden van p aan eis 2 is voldaan.
     

p  ≥ 12π

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)