De krant van Meneer Jansen.
De moeilijke oplossing

Beschouw het tijdstuk tussen 6.30 en 8.00 als een lijnstuk.
Daarop gaan we het punt K (krant komt aan) willekeurig tussen 6.30 en 7.30 plaatsen. Het gebied waarin de krant meegenomen kan worden is groen (gelukt), de rest is rood (mislukt)
Als K < 7.00 dan zal hij de krant altijd mee kunnen nemen. De kans daarop is P1 =  1/2.
Neem aan dat K > 7.00
De kans dat hij de krant mee kan nemen is de kans dat hij later dan K vertrekt,
en die is gelijk aan  (8 - K)/(8-7) = 8 - K
Deze kansen moeten we sommeren over alle K van 7 tot 7,5:
De totale kans om de krant mee te nemen is daarmee 1/2 + 3/8 = 7/8
 
Hoe kan het handiger?
   
Omdat er twee dingen tegelijk moeten gebeuren (de krant moet voor K aankomen en Jansen moet na K vertrekken) is dit eigenlijk een tweedimensionaal probleem. Dat zagen we ook al aan het feit dat we een integraal moesten oplossen natuurlijk: daarmee werd de dimensie ineens tijd2.
Daarom is het vele keren makkelijker om de uitkomstenruimte (alle mogelijkheden) direct tweedimensionaal te tekenen!
Neem als x-as het tijdstip dat de krant aankomt en als y-as het tijdstip waarop Jansen vertrekt.
Dan is het toegestane gebied  [6.30 , 7.30] x [7.00 , 8.00]
De gevallen waarin Jansen de krant mee kan nemen zijn de punten die boven de lijn y = x liggen
In de figuur hiernaast is duidelijk te zien dat het groene deel 7/8 is van het hele vierkant.
Op deze manier zijn veel meer kansproblemen op te lossen. De volgende is zelfs een heel direct meetkundig probleem:
Een muntstuk met diameter 6 valt op een papier met een rooster van vierkanten die zijde 10 hebben.
Hoe groot is de kans dat het muntstuk helemaal binnen één vierkant ligt?
Bekijk de plaats van het middelpunt van de munt. Die moet op afstand 3 (straal) of meer van een roosterlijn liggen. Van elk vierkant van 10 bij 10 worden de gebieden die op minder dan 3 vanaf een rand liggen daarom rood gemaakt.
Het toegestane gebied voor de plaats van het middelpunt is een vierkant van 4 bij 4 met oppervlakte 16 (het groene gebied).

De kans dat de munt binnen een roostervierkant valt is daarom  16/100
En dat brengt ons automatisch op een historisch experiment:

De Naaldproef van Buffon

Stel je voor dat er op het schoolplein met krijt allemaal evenwijdige lijnen zijn getrokken op afstand 10 cm van elkaar.
Het is 5 december.
Sinterklaas komt op bezoek. Zijn pieten strooien echter geen lekker snoepgoed, maar ze strooien allemaal uiterst dunne naalden met lengte 10 cm. Sommige naalden vallen in hun geheel tussen twee krijtstrepen, andere naalden raken een krijtstreep.
Niemand lust die naalden, dus iedereen laat ze liggen.
Helaas had jij strafcorvee, en je moet van de conciërge na afloop alle naalden van het plein oprapen. Hij geeft je verder de stomme opdracht mee om te tellen hoeveel procent van de naalden een krijtstreep raakt.

Je hebt echter geen zin in die flauwekul, dus na afloop gok je zomaar "Hier zijn de naalden, het was 50%".
De man wordt woedend. "Welnee, oplichter, dan zou p gelijk zijn aan 4!!!"

Betrapt! Hoe komt hij daarbij?
Hiernaast staat de situatie getekend van een naald tussen twee krijtstrepen die een streep nét raakt.
Het middelpunt van de naald ligt op afstand s van het midden tussen de krijtstrepen.
Voor de hoek j geldt:
De naald zal de krijtstreep snijden als de hoek met de verticaal kleiner is dan j.
Nou zijn er 0,5p mogelijke hoeken (als we de scherpe nemen) met de verticaal.
De kans dat een hoek kleiner is dan j is dus:
Nu moeten we nog middelen voor s tussen 0 en 5:

De factor 1/5 is nodig om te delen door de totale lengte van het lijnstuk waarover gemiddeld wordt.
(Het verhaal hierboven kun je ook volgen voor lijnen met afstand L en naalden van lengte L; de kans blijft gelijk)
Conclusie: het percentage moest eigenlijk 63,66... zijn.

Dit geeft, mits je een betrouwbare naaldenopraper hebt, dus een mooie experimentele manier om p te bepalen!
3. Verwant vraagje
Kies binnen een cirkel met middelpunt M willekeurig twee punten A en B.
Hoe groot is de kans dat driehoek AMB stomphoekig is?
4. Broertje van de vorige..
Kies willekeurig punten A, B en C op de omtrek van een cirkel.
Hoe groot is de kans dat driehoek ABC scherphoekig is?