VWO WB, 2017 - II   Pilot.
Twee  machten van 2.
       

 
De functie f  is gegeven door:

f (x) = 2x + 2-2x

In de figuur hiernaast  is een deel van de grafiek van f weergegeven.
De functie heeft één extreme waarde
en dat is een minimum.

     
5p.

1.

 Bereken exact de waarde van x waarvoor f(x) minimaal is.
     

 

In de figuur linksonder  is het gebied grijs gemaakt dat wordt begrensd door de grafiek van f , de x-as en de lijnen met vergelijkingen x = -1 en x = 1. In de figuur rechtsonder is het rechthoekige gebied grijs gemaakt dat wordt begrensd door de x-as en de lijnen met vergelijkingen x = -1, x = 1 en y = k .
De waarde van k is zo gekozen dat het grijze gebied uit beide figuren dezelfde oppervlakte hebben.
       

       
5p.

2.

Bereken algebraïsch de waarde van k. Rond je eindantwoord af op twee decimalen.
     

 

Op de grafiek van f  liggen de punten A(1, 21/4) en Q(2, 41/16) . Ook ligt op de grafiek van f  het punt P. Gegeven is dat de vectoren AP  en AQ  loodrecht op elkaar staan.
       
5p.

3.

 Bereken de x-coördinaat van P in twee decimalen nauwkeurig.
     

 

 

Een grafiek met een knik.
       

De functie f  is gegeven door:

f (x) = 4e2 - x +  | 8 - 4x |

De grafiek heeft een knik in het punt P. Dit punt verdeelt de grafiek in twee delen.
De raaklijn in P aan het linkerdeel van de grafiek van f is lijn m. De raaklijn in P aan het rechterdeel van de grafiek van f is lijn k.

In de figuur hiernaast zijn de grafiek van f en de raaklijnen k en m weergegeven. Lijn k is evenwijdig aan de x-as. De hoek die de twee raaklijnen maken is ook in de figuur aangegeven.

     
5p.

4.

Bereken algebraïsch de hoek tussen de lijnen k en m.
     

 

De grafiek van f  heeft een asymptoot. Deze is in de figuur hiernaast aangegeven.

     
3p.

5.

Bepaal op exacte wijze een vergelijking van deze asymptoot.

 
     

  
Driehoek in cirkel.
       

In een assenstelsel liggen de punten A(4, 0) en B(0, -2) op de cirkel met vergelijking x2 + ( y - 3)2 = 25 .
We bekijken in deze opgave driehoeken ABC met punt C op de grote cirkelboog AB. Zie de figuur.
       

       

Er zijn twee plaatsen van C op de cirkel waarbij driehoek ABC een rechthoekige driehoek is.
       
4p.

6.

 Bereken exact voor één van deze twee plaatsen de coördinaten van C.
     

 

Voor een bepaalde plaats van C op de cirkel is driehoek ABC een gelijkbenige driehoek met top A, dus met AB = AC .
       
6p.

7.

 Bereken exact de coördinaten van C waarvoor dat het geval is.
     

 
Straal van een waterstraal.
       

In deze opgave kijken we naar water dat uit een cirkelvormige
kraanopening stroomt.

In de figuur hiernaast is de vorm van de waterstraal getekend. Op elke hoogte is de horizontale doorsnede van de waterstraal een cirkel. De straal van die cirkel wordt naar beneden toe steeds kleiner.

Op hoogte h heeft de horizontale doorsnede straal r en is de stroomsnelheid van het water v.
De kraanopening heeft straal r0 en bevindt zich op hoogte h0.
De snelheid waarmee het water uit de kraan stroomt, is v0.
Het hoogteverschil h0 - h geven we aan met x.

In de formules van deze opgave is meter de eenheid van lengte en meter per seconde de eenheid van snelheid.

Uit de (natuurkundige) Wet van behoud van energie volgt:
v02  + 2gh0  =  v2  +  2gh      .....(1)

Hierin is g de valversnelling van 9,81 m/s².

De hoeveelheid water die per seconde op een bepaalde hoogte voorbijstroomt, is voor elke hoogte gelijk. Hieruit is af te leiden:
r02 • v0  =  r2 •  v       .....(2)

Door formule 1 en formule 2 te combineren kan worden aangetoond:
   

 

  
       
5p.

8.

 Toon door formule 1 en formule 2 te combineren aan dat formule 3 juist is.
     

 

Een bepaalde kraan heeft een opening met een diameter van 2 cm. De opening bevindt zich 30 cm boven een oppervlak. De kraan wordt zo ver opengedraaid dat v0 = 0,5 m/s.

In onderstaande figuur is voor deze waterkraan de grafiek getekend die het verband weergeeft tussen het hoogteverschil x en de straal r.
       

       

Als deze grafiek wordt gewenteld om de horizontale x-as, ontstaat de vorm van de waterstraal (90 graden linksom gedraaid).

De inhoud van het omwentelingslichaam is gelijk aan de hoeveelheid water waaruit de waterstraal op een bepaald moment bestaat.
       
5p.

9.

Bereken deze hoeveelheid. Rond je eindantwoord af op een geheel aantal cm3.
     

  

 

Cirkels.
       

Gegeven zijn de cirkels c1 en c2 . Cirkel c1 heeft straal 1/2 en middelpunt O. Het middelpunt van cirkel c2 ligt op de positieve y-as.
Cirkel c1 ligt binnen cirkel c2 . Deze twee cirkels raken elkaar in het punt R(-1/2, 0)
Zie de figuur.
       

       

Er zijn twee bewegende punten, P en Q. Punt P draait rond over cirkel c1 , punt Q draait rond over cirkel c2 . In de figuur zijn de posities van P en Q op een bepaald tijdstip weergegeven. Verder is gegeven:

-  Op t = 0 bevinden de punten P en Q zich in R.
-  Beide punten bewegen tegen de wijzers van de klok in.
-  Beide punten bewegen met constante snelheid.
-  De snelheid van P is gelijk aan de snelheid van Q.
-  Op t =12 bevindt punt Q zich, sinds t = 0 , voor het eerst weer in R.
-  Op t =12 heeft punt P precies vier maal c1 doorlopen.

De y-coördinaat van punt Q wordt gegeven door een formule van de vorm:  yQ = k + l • sin(m(t - n))
       
6p.

10.

Bereken waarden van k, l, m en n waarvoor deze formule in overeenstemming is met de gegevens.
     

 
De vergelijking van Arrhenius.
       

Om een chemische reactie tot stand te brengen is een bepaalde hoeveelheid activeringsenergie nodig. De Zweedse scheikundige en Nobelprijswinnaar Svante Arrhenius heeft een vergelijking opgesteld die het verband aangeeft tussen het aantal reagerende moleculen, de temperatuur en de activeringsenergie:

     

     
Hierin is:

-
-
-
-

A de constante van Arrhenius;
E de activeringsenergie (in joule per mol);
T de temperatuur (in kelvin);
k een getal dat aangeeft hoeveel moleculen er per seconde reageren.
       
De vergelijking van Arrhenius kun je herleiden tot de volgende vorm:
       

       
4p.

11.

 Geef een herleiding waaruit dit blijkt.
     

 

E en A hebben voor elk soort reactie een eigen waarde. De waarden van E en A hangen niet af van de temperatuur. Omdat ze niet direct te meten zijn, meet men bij een reactie de waarde van k bij twee verschillende temperaturen. Hieruit zijn dan met de vergelijking van Arrhenius de bij die reactie horende waarden van E en A te berekenen.

Als voorbeeld bekijken we de chemische reactie waarbij stikstofdioxide wordt omgezet naar stikstofmonoxide en zuurstof.
Voor deze reactie is in een proef vastgesteld dat k = 2,7·10–2 als T = 500 en dat k = 2,4·10–1 als T = 550.
       
3p.

12.

Bereken de waarde van E van deze reactie. Geef je eindantwoord in de vorm a • 105 , met a afgerond op één decimaal.
     

 
Een foto van de Eusebiuskerk.
       
We bekijken de volgende goniometrische formule:
       

       

De juistheid van deze formule kan worden bewezen door gebruik te maken van:
       

       
3p.

13.

 Bewijs dat formule 1 juist is.
     

 

Een fotograaf wil de toren van de Eusebiuskerk in Arnhem zo duidelijk mogelijk op de foto krijgen. Hij vraagt zich af op welke afstand van de kerk hij dan moet gaan staan. Deze afstand berekenen we in deze opgave.

In figuur 1, hieronder, is de situatie schematisch weergegeven. Punt A is een punt aan de voet van de toren. De punten B en C liggen beide recht boven punt A. Punt B ligt op een hoogte van 27 meter boven A. Punt C ligt op een hoogte van 75 meter boven A.
De fotograaf staat bij punt P op een afstand van x meter van A. Hij zet zijn camera in P op de grond zó dat alleen het deel van de toren tussen B en C op de foto staat. Er geldt: ∠PAB = 90º .
Verder is  α = ∠APC , β = ∠APB  en  φ = α - β.  We noemen φ de kijkhoek.
       

       

Door gebruik te maken van formule 1 is het mogelijk tan(φ) uit te drukken in x. Er geldt:
       

       
3p.

14.

 Bewijs dat formule 3 juist is.
     

 

       

       

Om het deel van de toren tussen B en C zo duidelijk mogelijk op de foto te krijgen, moet kijkhoek φ maximaal zijn. Dat is het geval als tan(φ) maximaal is. In bovenstaande figuur is te zien dat er een waarde van x bestaat waarvoor g(x) en dus tan(φ) maximaal is.
       
4p.

15.

Bereken exact op welke afstand de fotograaf moet staan zodat de kijkhoek maximaal is.
     

 
Scheve parabolen.
       

Voor a > 0 is de baan van het punt P gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen:
       

       
Neem a = 3. Dan zijn de bewegingsvergelijkingen van P dus:
       

       
Voor a = 3 is de snelheid van P op zeker moment minimaal.
       
4p.

16.

 Bereken exact deze minimale snelheid.
     

 

       

Voor a = 0,12 bevindt P zich op twee tijdstippen op de x-as. Voor a = 2 is er geen enkel tijdstip waarop P zich op de x-as bevindt. Zie de figuur.
Er is één waarde van a waarvoor P zich op precies één tijdstip op de x-as bevindt.
       
4p.

17.

 Bereken exact deze waarde van a.
     

  

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. Dan is de afgeleide nul.
f ' = 2x • ln2 + 2-2x • ln2 • -2 = 0
ln2 • (2x - 2 • 2-2x) = 0
2x - 2 • 2-2x = 0
2x  = 2 • 2-2x
2x = 2-2x + 1 
x = -2x + 1
3x = 1
x = 1/3.
   
2. De oppervlakte in de linkerfiguur:
 
  = 1/ln2 • (2 - 1/8 - 1/2 + 2) = 1/ln2 • 27/8 ≈ 4,8691
  De oppervlakte rechts is  2k
2k = 4,8691  geeft  k ≈ 2,43
   
3. De helling van AQ =  29/16
Dus de helling van AP is  -16/29
Lijn AP heeft vergelijking  y = -16/29x + b
punt A invullen:    21/4 = -16/29 + b  dus  b =  325/116
Snijden van AP met f:    -16/29x + 325/116 = 2x + 2-2x 
 Y1 = -16/29*X + 325/116
Y2 = 2^X + 2^(-2X)
intersect levert X = -0,67   (∨ X  = 1 van punt A)
   
4. links:  
f (x) = 4e2 - x +  8 - 4x
f '(x) = 4e2 - x • -1 - 4
f '(2) = -8

rechts:    k  heeft helling nul (gegeven)

tan(α) = -8  geeft een hoek α = 82,87º
   
5. Aan de rechterkant geldt: y =  4e2 - x - 8 + 4x
Als x naar oneindig gaat, dan wordt 4e2 - x  gelijk aan nul.
De asymptoot is dus de lijn  y = -8 + 4x
   
6. Hoek A is recht als BC een middellijn is (Thales)  dus C = (0, 8)
   
7. AB = √(42 + 22) = √20
Leg een cirkel door A (4, 0) met straal √20.
Dat is de cirkel  (x - 4)2 + y2 = 20
Snijden met de gegeven cirkel  x2 + (y - 3)2 = 25.

eerste cirkel:  x2 - 8x + 16 + y2 = 20  dus x2 + y2 = 4 + 8x
tweede cirkel:  x2 + y2 - 6y + 9 = 25  dus  x2 + y2 = 6y + 16
Dat moet gelijk zijn:   4 + 8x = 6y + 16  ofwel  x = 0,75y + 1,5
Vul dat in in één van de cirkels, bijvoorbeeld de eerste:

(0,75y + 1,5 - 4)2 + y2 = 20
(0,75y -2,5)2 + y2 = 20
0,5625y2 - 3,75y + 6,25 + y2 = 20
1,5625y2 - 3,75y -13,75 = 0
deel door 1,5625:    y2 - 2,4y - 8,8 = 0
ABC-formule:  y = (2,4 ±√40,96)/2 = 4,4  of  -2

y = 4,4 geeft  x = 0,75 • 4,4 + 1,5 = 4,8
Het gezochte punt is  (4.8, 4.4)
   
8.
  Die v2 in de noemer kunnen we met vergelijking (1) vervangen: 
v2 = v02 + 2gh0 - 2gh = v02 + 2g(h0 - h) = v02 + 2gx
invullen in de vergelijking. voor r4:
 
  Neem van beide zijden de vierdemachtswortel en je hebt de gevraagde vergelijking.
   
9. v0 = 0,5  en  h = 0,3 en  r0 = 0,01 geeft: 
 
 
 
  Y1 = 0,01 * (0,25/(0,25 + 19,62 * X))^0,25
Y2 =  π * Y1^2
 2nd - calc -  ∫f(x)dx van Y2 met  lower limt X = 0  en upper limit  X = 3 geeft inhoud 3,1658... • 10-5  m3
Dat is ongeveer  32 cm3
   
10. Q heeft dezelfde snelheid als P, maar als Q één omtrek doorloopt, doorloopt P er vier.
Dus de omtrek van c2 is 4 keer zo groot als de omtrek van c1
Dus de straal van c2 is ook 4 keer zo groot, dus gelijk aan  4 • 1/2 = 2
Middelpunt van c2 is dan het punt  (0, 11/2)

beweging van P:
•  evenwichtslijn  y = 11/2
•  amplitude  2
•  periode  12, dus in de formule  2π/12 = π/6
•  beginpunt onderaan, dus 1/4 periode naar rechts geschoven. Dus 3 naar rechts.

Dat geeft  y = 11/2 + 2sin(π/6 • (x - 3))
   
11.
  Neem van beide kanten de natuurlijke logaritme:   ln(k/A) = -(E/8,314T)
E/8,314T = -ln(k/A) = ln((k/A)-1) = ln(A/k)
vermenigvuldig met 8,314T:    ln(A/k) • 8,314T = E 
   
12. T = 500 en  k = 2,7 • 10-2  geeft   E = 4157 • ln(37,03A)
T = 550  en  k = 2,4 • 10-1   geeft  E = 4572,7 • ln(4,167A)
gelijkstellen:   4157 • ln(37,03A) = 4572,7 • ln(4,167A)
Y1 = 4157 * ln(37,03*X)
Y2 = 4572,7 * ln(4,167*X)
calc - intersect levert  E = Y = 1,0 • 105  J/mol 
   
13.
  deel nu alles door cosαcosβ:
 
14. tanφ = tan(α - β)
tanα = 75/x
tanβ = 27/x
gebruik de formule:
 
  daar is in de tweede stap teller en noemer vermenigvuldigd met x2
   
15. voor het maximum moet gelden  g'= 0.
 
  Dat is nul als de teller nul is:
48x2 + 97200 - 96x2 = 0
48x2 = 97200
x2 = 2025
x = 45
De fotograaf moet op 45 meter voor de toren gaan staan.
   
16. v = √((x')2 + (y')2) = √((6t + 1)2 + (6t - 1)2) = √(36t2 + 12t + 1 + 36t2 - 12t + 1) = √(72t2 + 2)
Dat is minimaal als t = 0
Dus de minimale snelheid is  √2 m/s
   
17. De vergelijking  y = 0  mag maar één oplossing hebben.
at2 - t + 1 = 0  heeft 1 oplossing als D = 0
(-1)2 - 4 • a • 1 = 0
1 - 4a = 0
a = 1/4.