Nieuwe pagina 1


OPGAVEN

1.	Los op in [0, 4π]: 4 + 3sin (2x - 1) = 5. Geef je antwoord in twee decimalen

2.	Los op in [0, 2π]: cos(x + 1) = sin(3x + 2). Geef je antwoord in twee decimalen



OPLOSSING

1.	4 + 3sin (2x - 1) = 5 ⇒ 3sin(2x - 1) = 1 ⇒ sin(2x - 1) = ¹/₃ ⇒ 2x - 1 = 0,34 + k2π) ∨ 2x - 1 = π - 0,34 =2,80 + k2π ⇒ 2x = 1,34 + k2π) ∨ 2x = 3,80 + k2π ⇒ x = 0,67 + kπ ∨ x = 1,90 + kπ Dat geeft de oplossingen {0.67, 1.90 , 3.81, 5.04 , 6.95, 8.18 , 10.09 11.32}

2.	cos(x + 1) = sin(3x + 2) ⇒ sin(0,5π -(x + 1)) = sin(3x + 2) ⇒ sin(0,5π - x - 1) = sin(3x + 2) ⇒ 0,5π - x - 1 = 3x + 2 + k2π ∨ 0,5π - x - 1 = π - (3x + 2) + k2π ⇒ -4x = 1,43 + k2π ∨ 2x = 3,71 + k2π ⇒ x = 0,36 + k0,5π ∨ x = 1,86 + kπ Dat geeft de oplossingen {0.36, 1.86 , 1.93, 5.00 , 3.50, 5.07}

1. Als er één sinus of cosinus in de vergelijking staat

•

Zorg dat die sinus of cosinus apart komt te staan.
Maak er dus van sin( ) = .... of cos( ) = ...

•

sin x = a kun je veranderen in x = sin^-1a
maar LET OP 2 dingen:

er is een tweede oplossing: x₂ = π - de eerste oplossing

je kunt bij deze oplossing ook nog een willekeurig aantal keer 2π optellen of aftrekken, want dat is precies een geheel aantal periodes. Dat geven we aan met + k2π

•

Los de twee vergelijkingen op. Denk erom dat, als je ergens door deelt (of mee vermenigvuldigt), dat je dan + k2π óók daardoor deelt.

•

Geef als antwoord alle oplossingen die binnen het domein vallen (let op de vraag)

Bij cosinus is die tweede oplossing niet (π - eerste) maar (- eerste)
Samengevat::

sinx = sina ⇒ x = a + k2π of x = π - a + k2π
cosx = cosa ⇒ x = a + k2π of x = - a + k2π

2. sin a = sin b

gaat precies hetzelfde; a = b + k2π of a = π - b + k2π
en ook cosa = cosb gaat helemaal hetzelfde (maar dan met -b)

3. sin a = cos b

gebruik de volgende formules om sin in cos te veranderen, en andersom:

cosx = sin(¹/₂π - x)

sinx = cos(¹/₂π - x)

daarna is het een opgave als bij 2) geworden.

4. Overig...

Tja, dan moet je (handig) zoeken naar een andere formule.......

Tip: vaak is het handig om er allemaal sinx of allemaal cosx van te maken en dat dan p te noemen.
Dat kan vaak met sin²x + cos² x = 1