Zwaartepunt.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Stel dat ik uit een stuk hout een mooie paraboolvorm zaag.
Bijvoorbeeld de parabool y = x2 tussen x = -4 en x = 4  hiernaast. 
Als ik dat parabooldeel dan aan een hoek met een spijker aan de muur hang, waarbij het vrij kan draaien om het ophangpunt, dan zal de zwaartekracht op de figuur gaan werken, en zal het paraboolstuk gaan draaien:

Op elk klein zwart blokje van de figuur werkt dezelfde zwaartekracht. Omdat punt P vast zit geeft dat samen een draaiende beweging rond P.  Maar daarbij tellen niet alle zwarte blokjes even zwaar mee! De rode kracht hierboven telt bijvoorbeeld meer mee dan de blauwe. Dat komt omdat de afstand tot het draaipunt groter is.
Natuurkundigen noemen die "draaikracht" het "moment  (M)" van de kracht. Daarvoor geldt de  formule:
M = F • r
Daarbij is M het moment, en F de kracht en r de afstand, loodrecht op de richting van F gemeten. Hiernaast is voor de blokjes uit de figuur hierboven r aangegeven.
Je ziet in de figuur hiernaast dat de groene, de rode, de blauwe en de paarse F allemaal samenwerken: ze willen allemaal de figuur laten draaien met de klok mee om punt P (omdat ze allemaal rechts van P liggen).
Totale moment:    M = F • r  +  F • r  +  F • r  +  F • r
We hebben draaien met de klok mee positief genoemd.
Het parabooldeel zal gaan draaien met de klok mee. Maar hoe ver?
Natuurkundigen hebben daarvoor de volgende regel ontdekt: 

In evenwichtssituatie is de som van alle momenten nul.

Hiernaast zie je een gedraaide situatie. De rode en de groene F willen het parabooldeel met de klok mee draaien. maar de blauwe en de paarse F willen de figuur tegen de klok in draaien.
Als het totale moment van vlakdeeltjes die tegen de klok in willen draaien gelijk is aan het moment van vlakdeeltjes die met de klok mee willen draaien, dan hangt de figuur stil.

Het ZWAARTEPUNT

Maar als je het parabooldeel hiernaast aan een ander punt ophangt dan zal het ook in een andere stand eindigen. Hieronder staan voor een aantal ophangpunten P de evenwichtsposities getekend. Het totale moment t.o.v. de stippellijn door P is dus elke keer NUL.

Als we al die stippellijnen in één parabooldeel tekenen dan valt iets op: ze gaan allemaal door één punt!! 
Dat is hiernaast getekend voor de vijf ophangpunten hierboven.
Dat speciale punt heet het Zwaartepunt.

De figuur gaat dus altijd zo hangen dat het zwaartepunt recht onder het ophangpunt zit. Het is alsof het hele lichaam zich bevindt in dat zwaartepunt. En dat is inderdaad een belangrijke regel:

Een lichaam beweegt zich
alsof alle massa zich bevindt in het zwaartepunt.

Dit laatste kan ons helpen de precieze plaats van dat zwaartepunt op te zoeken.
Laten we ons parabooldeel op tafel zetten zodat het rechtop staat en precies in balans is. Als je er dan een heel klein duwtje tegenaan geeft zal het door de zwaartekracht omvallen:

Bij dat draaien gaan we er voor het gemak vanuit dat punt P door de wrijving met het tafelblad op zijn plaats blijft.
Je kunt het totale moment (T) van het parabooldeel ten opzicht van de draai-as door P nu op twee manieren berekenen.
Manier I :  de som van alle kleine momentjes mihi 
Manier II:  het hele parabooldeel in het zwaartepunt geeft moment  T = M • H (waarbij M de totale massa is, en H de hoogte van het zwaartepunt.  Ik hoop dat je uit symmetrieoverwegingen al wel had geraden dat het zwaartepunt op de as van de parabool moet liggen).

Manier I
.....is de lastige manier.
Maar het helpt om ons parabooldeel in allemaal horizontale strookjes op te delen.
Waarom zouden we dat doen?
Nou, massaatjes op dezelfde hoogte hebben het zelfde moment ten opzichte van de draai-as.......
Alle deeltjes in het groene strookje hiernaast hebben afstand h tot de draai-as.
Een vereenvoudiging tussendoor: laten we aannemen dat de massa van oppervlakte 1 ook gelijk is aan 1  (je mag de 1 ook door een willekeurig ander getal vervangen, dat verandert niets aan het verhaal hierna).

Dan is de totale massa van het groene strookje gelijk aan zijn oppervlakte.
Voor het totale moment van dat groene strookje geldt dan:
m1h + m2h + .... = (m1 + m2 + ...)h  = oppervlakte • h = 2xdh • h
Om het totale moment (T) van het parabooldeel om de as door P te berekenen  moet je nu alle momenten van die groene strookjes bij elkaar optellen.
Voel je hem al aankomen?  Dat wordt natuurlijk een integraal.

Bij de derde stap is gebruikt dat h = x2  dus  x = Öh.  Vanwege de dh moeten we immers van alle letters h's maken...
Uitrekenen geeft  T = 819,2. (als je dat niet kunt volgen dan was je dit nu niet aan 't lezen, denk ik)

Manier 2.
Is een stuk makkelijker nu we de massa van ons paraboolstuk hebben gelijkgesteld aan de oppervlakte ervan.

Daar komt uit T = 851/3H
Omdat beide manieren dezelfde waarde moeten opleveren moet gelden   851/3H = 819,2
Ofwel H = 9,6

Héhé. Gevonden......Het zwaartepunt ligt op de as op hoogte 9,6 vanaf de top.

Nog een voorbeeld?

Laten we het "makkelijke" geval van een geodriehoek bekijken.
Waar ligt het zwaartepunt van een geodriehoek? Hoe hoog ligt Z hiernaast??

De schuine zijde van een geodriehoek loopt van -8 tot 8 en omdat de basishoeken 45º zijn is de hoogte ook 8.

De schuine zijde aan de rechterkant heeft dus vergelijking   y = 8 - x
Als je draaiing tov de x-as (de schuine zijde) bekijkt dan geldt:  (voor h mag je ook y lezen)

manier 1:


manier 2:
De oppervlakte is  0,5 • 16 • 8 = 64 dus het moment is  64 • H

conclusie:   64H = 1702/3  ⇒  H  = 22/3

Misschien wist je het al wel: het zwaartepunt van een driehoek ligt op 1/3 deel van de zwaartelijn (verdeelt de zwaartelijn in stukken die zich verhouden als 2 : 1). Dat blijkt nu maar weer eens te kloppen, want 1/3 van 8 is inderdaad 22/3.
Gelukkig maar.
Ik zou zeggen:  prik nu een gaatje op hoogte 22/3 in je geo en kijk of hij inderdaad daar (redelijk) in evenwicht hangt!!!!
1. Vlakdeel V is een halve cirkelschijf met straal 6 en middelpunt de oorsprong.
De vergelijking van V is  y = √(36 - x2 )
a. Leg uit waarom dat zo is.
       
b. Bereken de afstand van het zwaartepunt van V tot de oorsprong.
2.

De grafieken van y = √x en y = √(-x)  en de lijn y = 2 sluiten een vlakdeel V in .
 

Bereken de plaats van het zwaartepunt van V.

 
     
3. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2001.

De coördinaten van het zwaartepunt van een vlakdeel kun je met de formule in het kader hieronder berekenen
     
 
Van vlakdeel V is Z het zwaartepunt.
De coördinaten van Z zijn xZ en yZ.
Er geldt:
Hierbij is h(x) de bij x behorende hoogte van V, voor  p ≤ x ≤ q
De berekening van yZ verloopt op een soortgelijke manier.
     
  De vlakdelen in deze opgave zijn symmetrisch in de lijn y = x, dus geldt  xZ = yZ
   

  a. Toon met de formule in het kader aan dat het zwaartepunt van driehoek OAB met  A(3,0) en B(0,3) het punt (1,1) is.
           
  Het vlakdeel OAPQB in de figuur hiernaast wordt begrensd door de x-as, de y-as, de lijn x = 3 en de hyperbool  y = 3/x

         
  b. Bereken exact de x-coördinaat van het zwaartepunt van dit vlakdeel.
       

7,5/(3 + 3ln3)
           
Als je graag wilt weten hoe je het zwaartepunt van een niet-symmetrische vlakdeel kunt vinden, dan moet je de verdieping hiernaast maar lezen.
Ruimtelijke figuren.

Hiernaast zie je een kegel met hoogte 8 en straal grondvlak 6.
Als je één schijfje daarvan met dikte dh op hoogte h boven het grondvlak bekijkt, dan is dat een cirkelvormig schijfje en voor alle bewegingen daarvan mag je doen alsof alle massa zich in het middelpunt bevindt.
Als we weer doen dat bij volume 1 ook massa 1 hoort, dan is dat een massa van πr2 dh  op afstand h vanaf M.

Het moment van dit ene schijfje ten opzichte van M is  πr2 dh • h
Voor het totale moment (T) van de hele kegel t.o.v M moet je al die schijfjes optellen: integreren dus.
In de figuur rechtsboven zie je door gelijkvormige driehoeken te gebruiken vrij eenvoudig dat  (8 - h)/r = 8/6 
ofwel  r = 6 - 0,75h
Invullen in de integraal geeft: 
Dat moet gelijk zijn aan de totale massa van de kegel vermenigvuldigd met de hoogte van het zwaartepunt:
192π = 1/3 • π • 62 • 8 • H  en daaruit volgt dat  H = 2.
4. Toon aan dat voor een kegel met hoogte h de plaats van het zwaartepunt altijd
op hoogte 1/4h vanaf het grondvlak ligt.
5. Bereken de plaats van het zwaartepunt van een halve bol met straal 6.

Gebruik daarbij de figuur hiernaast.

6. De mooie fruitmand hiernaast is ontstaan door de grafiek van
y = √(x - 4) tussen x = 4 en x = 8 te wentelen om de y-as.
a. Als je de plaats van het zwaartepunt van het gekromde oppervlak (dus zonder de bodem) wilt berekenen moet je die oppervlakte in ringetjes verdelen. Neem aan dat 1 eenheid oppervlakte ook massa 1 heeft. Bereken de plaats van dat zwaartepunt.
     
b. Bereken de plaats van het zwaartepunt als de figuur geen fruitmand was, maar een massief houten blok.
             
7. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2008.    
             
 

Van een cirkelschijf met middelpunt (0, 0) en straal 1 is het kwart getekend dat in het eerste kwadrant ligt. De cirkelboog is de grafiek van de functie f die gegeven is door f (x) = 1− x2 op het domein [0, 1]. Zie de bovenste figuur hiernaast.

We wentelen het kwart van de cirkelschijf om de x-as. Het omwentelingslichaam dat dan ontstaat is een halve bol. Zie de onderste figuur hiernaast.

Het zwaartepunt van de halve bol ligt op de positieve x-as

Voor de x-coördinaat xZ van dit zwaartepunt geldt:

xZ = M/V ,  met

V is de inhoud van de halve bol.

De inhoud van een bol met straal r is gelijk aan 4/3πr3 .
Bereken xZ exact.

         

xz = 3/8

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)