Wortels vereenvoudigen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
De regels die we de vorige les ontdekten om met wortels te werken kun je gebruiken om wortels te vereenvoudigen.
Wat bedoelen wij als wiskundigen met vereenvoudigen?
Een "NET" geschreven wortel voldoet aan de volgende eisen.

1.  Onder het wortelteken een zo klein mogelijk getal.

Door gebruik te maken van de regel √(a • b) = √a • √b kun je soms het getal onder het wortelteken verkleinen.
Kijk maar:   √80 = √(16 • 5) = √16 • √5 = 4√5

Wiskundigen vinden 4√5 veel en veel mooier dan √80.

Dat zagen we al in de vorige les.
De vraag is natuurlijk:  hoe vind je die  5 • 16 ? 
De vorige les was dat gewoon een "beetje proberen", maar als de getallen groter en groter worden is het wel eens moeilijk om zulke kwadraten te vinden

Nou: gelukkig is daar een methode voor!

Het heeft te maken met ontbinden in priemfactoren. Als je niet weet wat dat is of hoe dat moet dan moet je eerst dit lesje maar even doornemen.

Als je de 80 in √80 gaat ontbinden in priemfactoren dan krijg je 80 = 2 • 2 • 2 • 2 • 5 
En nou komt het:  elke priemfactor die dubbel in dit rijtje voorkomt kun je vσσr het wortelteken zetten!
Dat komt omdat  √(a • a) = (tenminste als a groter dan nul is)
Kijk maar:  √80 = √(2 • 2 • 2 • 2 • 5) = √(2 • 2) • √(2 • 2) • √5 = 2 • 2 • √5 = 4√5
Die stukjes √(2 • 2) zijn natuurlijk allemaal gelijk aan 2.
Net zo goed als stukjes  √(3 • 3) gelijk zouden zijn aan 3, en stukjes √(5 • 5) gelijk aan 5, en ga zo maar door...

Dus:

1.  ontbinden in priemfactoren
2.  haal de dubbelen uit de wortel.
   
2.  Geen wortels in de noemer.

Een wortel in de noemer van een breuk is een gruwel voor de echte wiskundige. Die wortel moet daar zo snel mogelijk weg!

En dat kan, als je je maar bedenkt dat je van een breuk de teller en noemer best met hetzelfde mag vermenigvuldigen, dan verandert hij niet.
Vermenigvuldig van de breuk hiernaast de teller en de noemer met √3. Dat geeft:

   
Ook als er meerdere dingen in de noemer staan kun je de wortels weg krijgen.  Dat kan door slim gebruik te maken van het feit dat  (a - b)•(a + b) = a2 - b2
Dat werkt bijvoorbeeld zσ:
   

 
Je ziet hoe in die noemer  (2 - √5) • (2 + √5) verandert in 22 - (√5)2 = 4 - 5 = -1
En als er bijvoorbeeld had gestaan  √6 + 3  dan hadden we natuurlijk teller en noemer vermenigvuldigd met (√6 - 3)
En als er stond  √5 - √2 dan zouden we uiteraard vermenigvuldigen met (√5 + √2)
   

   
1. Schrijf de volgende wortels zo eenvoudig mogelijk.
           
  a. √1620

18√5

f. √5445

33√5

  b. √176

4√11

g. √4732

26√7

  c. √1575

15√7

h. √1792

16√7

  d. √5265

9√65

i. √1296

36

  e. √5832

54√2

j. √7203

49√3

           
2. Schrijf de volgende wortels zo eenvoudig mogelijk.
             
  a.

-1/2 - 1/2√3

e.

-√2 + 2/3√6

  b.

3 - 3/2√2

f.

3/2 + 3/10√5

  c.

5/4√7 + 5/4√3

g.

-3 + 2√2

  d.

3/17√5+1/34√10

h.

1/2√5 - 1/2

             
3. Schrijf de volgende wortels zo eenvoudig mogelijk.
             
  a. √180 + √20

8√5

d.

6√3

  b.

1/12

e.

2

  c. √192 + √75 - √27

10√3

f.

11/14√7

             
4. Stel dat geldt:
 

   
  Hoe groot is dan  f(1) + f(3) + f(5) + ... + f(99) ?
           

5

             
5. Schrijf zonder haakjes:   (√5 + √6 + √7)(√5 + √6 - √7)(√5 - √6 + √7)(-√5 + √6 + √7)
           

104

             
             

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)