Vergelijkbare rijen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Het idee er achter is eigenlijk heel simpel:
Als twee rijen an en bn zich (wat convergeren en divergeren betreft) op ongeveer dezelfde manier gedragen,  dan zal de verhouding tussen die rijen nooit oneindig groot of nul worden.

Officieel:
       
Als an en bn twee rijen zijn met an, bn > 0
Als deze limiet positief en niet 0 of  ¥ is, dan gedragen de rijen an en bn zich hetzelfde;
óf ze convergeren beiden, óf ze divergeren beiden.
       
Bewijs.
Noem die limiet L, dan komt (vanaf bepaalde n) de waarde van  an/bn dus willekeurig dicht bij L te liggen.
Op een getallenlijntje in de buurt van L ziet dat eruit als hiernaast.
Er zijn dan wel getallen k en g (kleiner en groter dan L) te vinden zodat vanaf bepaalde n al die  an/bn  in het groene gebied van de getallenlijn hiernaast liggen.
Dus er zijn getallen k en g te vinden zodat geldt   k <  an/bn < g.
Maar dan geldt  k • bn < an < g • bn

Als bn nu divergeert, dan doet k • bn dat ook, en omdat an > k • bn  divergeert an dan ook.
Als bn nu convergeert, dan doet g • bn dat ook, en omdat  an < g • bn  convergeert an dan ook.

Ze gedragen zich dus hetzelfde.

N.B.
Ik hoop dat je hebt gezien dat de rollen van an en bn in dit hele verhaal volledig symmetrisch zijn. Bij de opgaven mag je dus steeds zelf kiezen wat je an noemt en wat bn. Dus welke de teller wordt en welke de noemer.
       
Voorbeeld.
Als je daar zo naar kijkt, dan vermoed je misschien wel dat die 2n de boel gaat bepalen. Die wordt namelijk veel groter dan n2 . Daarom vermoed ik dat deze rij vergelijkbaar zal zijn met de rij 1/2n
Als je dat wilt onderzoeken, dan kun je kiezen uit twee breuken, afhankelijk van welke je an noemt en welke bn:  
Die tweede lijkt me makkelijker, omdat je daar kunt uitdelen.
Maar dat laatste stuk gaat naar nul (2n wint van n2) dus uit de limiet komt 1.
Dat is een positief getal, en niet 0 of ∞ dus de rijen zijn vergelijkbaar. Omdat we verder weten dat  1/2n convergeert zal deze rij dat ook doen.
       
         
1. Onderzoek de convergentie of divergentie van de volgende reeks:
         
     

divergent

         
2. Onderzoek de convergentie of divergentie van de volgende reeks:
         
   

   
         
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)