translaties


Verschuiven van grafieken.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De grote vraag vandaag is "Wat gebeurt er met de formule die bij een grafiek hoort, als je de grafiek opzij of omhoog of omlaag verschuift?"
Daar hebben we meteen al 2 verschillende gevallen:

1. Omhoog of omlaag verschuiven.

2. Naar links of naar rechts verschuiven.

Geval 1. Omhoog of Omlaag verschuiven.

Laten we als voorbeeld een grafiek bekijken die 2 omhoog wordt geschoven. Zie de figuur hiernaast.
De blauwe grafiek wordt 2 omhoog geschoven.
Dat betekent dat alle rode punten 2 hoger liggen dan hun blauwe partners. Alle zwarte pijlen hebben dus lengte 2.
Op de y-as zie je bij twee zulke koppeltjes dat dan geldt dat y_NIEUWook 2 hoger ligt dan y_OUD.Dus:

y_NIEUW = y_OUD + 2

Maar de y is eigenlijk de uitkomst van de hele formule, dus staat hier eigenlijk: NIEUWE FORMULE = OUDE FORMULE + 2

En wat voor 2 geldt, geldt natuurlijk voor elk getal.
Conclusie:

Grafiek a omhoog schuiven ⇒ f(x) wordt f(x) + a

En als de grafiek a omláág wordt geschoven dan wordt dat natuurlijk f(x) - a maar dat snapte je waarschijnlijk al wel.

Geval 2: Naar links of naar rechts schuiven.

Laten we als voorbeeld een grafiek bekijken die 2 naar rechts wordt geschoven. Zie de figuur hiernaast. De blauwe grafiek gaat over in de rode.
Bekijk nu een punt van de nieuwe grafiek bij de rode x.
De y-waarde die daarbij hoort is dan f_NIEUW(x).
Maar in de figuur zie je dat dat de y van de blauwe grafiek is, die hoort bij x - 2, dus dat is f_OUD(x - 2)

Conclusie: f_NIEUW(x) = f_OUD(x - 2)
In woorden: je krijgt het nieuwe functievoorschrift van de verschoven grafiek door in het oude de x te vervangen door x - 2.
En wat voor 2 geldt, geldt natuurlijk voor elk getal.

Je kunt het ook zo beredeneren:

Als je x vervangt door (x-2), dan moet je van de x die je wilt invullen eerst 2 aftrekken. Dus om dezelfde y-waarde als bij de oorspronkelijke grafiek te vinden, moet x dan juist 2 groter zijn.

Conclusie:

Grafiek a naar rechts schuiven
⇒ x vervangen door (x - a)

• Het zal je niet verbazen dat je de grafiek a naar links kunt schuiven door in de formule x te vervangen door (x+ a).
• Als er meerdere x-en in de formule staan moet je ze allemaal vervangen door (x ± a)

OPGAVEN

1. Schets zonder de GR te gebruiken de grafieken van de volgende functies:

y = (x - 3)²

f(x) = √(x - 3)

y = x² - 4

y = 3 + √(x + 2)

f(x) = ¹/_{(x - 5)}

f(x) = 4 + ¹/_{(x
+ 2)}

y = (x + 2)² + 3

f(x) = (x + 1)³

Als je de lijn y = 2x + 4 over een afstand 3 naar rechts schuift krijg je precies dezelfde grafiek als wanneer je hem 6 omlaag schuift.
Toon dat aan!

De top van een parabool is het punt (3, 6). Geef een mogelijke vergelijking van zo'n parabool.

De grafiek van y = x³ wordt zó verschoven dat hij door het punt (2, 1) gaat
Geef een mogelijke formule voor de grafiek die dan ontstaan is.

x³-7 of (x-1)³

De grafiek van y = ¹/_x wordt zo verschoven dat hij door (-1, 6) gaat.
Geef een mogelijke formule voor de grafiek die dan ontstaan is.

¹/_x+7 of ¹/_{(x
+ 7/6)}

De grafiek van y = √x wordt 3 omhoog geschoven en daarna een afstand opzij.
Na afloop gaat de grafiek door (9, 8)
Hoeveel is de grafiek opzij geschoven, en welke kant op?

16 naar links

Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2023-II

De functie f wordt gegeven door f(x) = x³ + 6x² - 36x - 88. Door de grafiek van f twee naar rechts te verschuiven ontstaat de grafiek van de functie g.
Een formule voor g is g(x) = x³ - 48x.

Bewijs dat dit een formule is voor g.

In de volgende figuur zijn de grafieken van f en g weergegeven.

Het middelste snijpunt van de grafiek van g met de x-as ligt in de oorsprong.
De grafiek van f heeft behalve punt M nog twee snijpunten met de x-as: het punt A en het punt B. De coördinaten van die snijpunten zijn met de functie f moeilijk te berekenen. Met behulp van de functie g zijn de coördinaten van deze snijpunten wel te berekenen.

Bereken exact de x-coördinaten van A en B.